#수학 #집합론 # 기수 - 집합의 크기를 나타내는 수를 기수라고 한다. - 집합 $A$의 기수는 $card A$ 혹은 $|A|$로 표현한다. - 모든 집합은 자기 자신에 대한 기수를 갖는다. - 집합 $A$의 기수 $|A|$는 유일하다. - 기수 $|A|$에 해당하는 집합 $A$는 존재한다. - $A = \emptyset \Leftrightarrow |A| = 0$ - $A \sim \{1, ..., k\}$이면, - $|A| = k$ - 유한집합이라는 뜻이다. - $\mathbb{N}_k$라고 표현하기도 한다. - $A \sim B \Leftrightarrow |A| = |B|$ ## 유한기수 - 유한집합의 기수를 유한기수라고 한다. - 원소의 개수와 같다. ## 초한기수 - 무한집합의 기수를 초한기수라고 한다. - 대표적인 초한기수 - $\aleph_0$ (알레프 제로) - 가부번집합의 기수 - 이 기수를 갖는 집합으로는 대표적으로 $\mathbb{N}$이 있다. - 즉, $|\mathbb{N}| = \aleph_0$ - $\varsigma$ (시그마) - 연속체의 기수 - 이 기수를 갖는 집합으로는 대표적으로 $\mathbb{R}$이 있다. - 즉, $|\mathbb{R}| = \varsigma$ # 기수의 연산 ## 칸토어-베른슈타인 정리 - A가 B의 부분집합과 동등이고, - B가 A의 부분집합과 동등이면, - A와 B는 동등이다. ## 합 - 유한집합 $A$와 $B$에 대해, - $|A| = a, |B| = b$이면, - $|A \cup B| = a + b$ - 가산집합 - $\aleph_0 = \aleph_0 + \aleph_0$ (증명하기) - $\varsigma = \varsigma + \varsigma$ (증명하기) - $\varsigma = \aleph_0 + \varsigma$ (증명하기) ## 곱 - 유한집합 $A$와 $B$에 대해, - $|A| = a, |B| = b$이면, - $|A \times B| = ab$ - 가신집합 - $\mathbb{N} \sim \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ (증명하기, 유리수) - $\mathbb{N} \sim \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ - ... - $\mathbb{N} \sim \mathbb{N}^n$ - 비가산집합 - $\mathbb{R} \sim \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (증명하기, 0-1 x 0-1 -> 0-1, 0.x1x2x3 x 0.y1y2y3 -> 0.x1y1x2y2) - $\mathbb{R} \sim \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ - ... - $\mathbb{R} \sim \mathbb{R}^n$ ## 지수 - 멱집합 - 집합 $A$에 대하여, - $|A| = a$일 때, - $|P(A)| = 2^a$ - 집합 $A, B$에 대하여, - $B^A$는 $A$에서 $B$로 가는 모든 함수의 집합이다. - $B^A = \{f|f:A \rightarrow B\}$ - $|A| = a, |B| = b$일 때, - $|B^A| = b^a$ - 집합 $A$에 대하여, - $|A| = a$일 때, - $|P(A)| = 2^a$ - $2^{\aleph_0} = \varsigma$ ***(증명하기)*** - $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ ***(증명하기)*** - $\varsigma^{\varsigma} = 2^{\varsigma}$ ***(증명하기)*** ## 계산 - $A = \{f|f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$ - $|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}| = \varsigma^{\varsigma} = (2^{\aleph_0})^{\varsigma} = 2^{\aleph_0 \times \varsigma} = 2^{\varsigma} > \varsigma$ # 기수의 순서 ## 칸토어 정리 # 다음 - [[3 연속체 가설 Contiuum Hypothesis]]