#수학 #집합론
# 기수
- 집합의 크기를 나타내는 수를 기수라고 한다.
- 집합 $A$의 기수는 $card A$ 혹은 $|A|$로 표현한다.
- 모든 집합은 자기 자신에 대한 기수를 갖는다.
- 집합 $A$의 기수 $|A|$는 유일하다.
- 기수 $|A|$에 해당하는 집합 $A$는 존재한다.
- $A = \emptyset \Leftrightarrow |A| = 0$
- $A \sim \{1, ..., k\}$이면,
- $|A| = k$
- 유한집합이라는 뜻이다.
- $\mathbb{N}_k$라고 표현하기도 한다.
- $A \sim B \Leftrightarrow |A| = |B|$
## 유한기수
- 유한집합의 기수를 유한기수라고 한다.
- 원소의 개수와 같다.
## 초한기수
- 무한집합의 기수를 초한기수라고 한다.
- 대표적인 초한기수
- $\aleph_0$ (알레프 제로)
- 가부번집합의 기수
- 이 기수를 갖는 집합으로는 대표적으로 $\mathbb{N}$이 있다.
- 즉, $|\mathbb{N}| = \aleph_0$
- $\varsigma$ (시그마)
- 연속체의 기수
- 이 기수를 갖는 집합으로는 대표적으로 $\mathbb{R}$이 있다.
- 즉, $|\mathbb{R}| = \varsigma$
# 기수의 연산
## 칸토어-베른슈타인 정리
- A가 B의 부분집합과 동등이고,
- B가 A의 부분집합과 동등이면,
- A와 B는 동등이다.
## 합
- 유한집합 $A$와 $B$에 대해,
- $|A| = a, |B| = b$이면,
- $|A \cup B| = a + b$
- 가산집합
- $\aleph_0 = \aleph_0 + \aleph_0$ (증명하기)
- $\varsigma = \varsigma + \varsigma$ (증명하기)
- $\varsigma = \aleph_0 + \varsigma$ (증명하기)
## 곱
- 유한집합 $A$와 $B$에 대해,
- $|A| = a, |B| = b$이면,
- $|A \times B| = ab$
- 가신집합
- $\mathbb{N} \sim \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ (증명하기, 유리수)
- $\mathbb{N} \sim \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}$
- ...
- $\mathbb{N} \sim \mathbb{N}^n$
- 비가산집합
- $\mathbb{R} \sim \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (증명하기, 0-1 x 0-1 -> 0-1, 0.x1x2x3 x 0.y1y2y3 -> 0.x1y1x2y2)
- $\mathbb{R} \sim \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
- ...
- $\mathbb{R} \sim \mathbb{R}^n$
## 지수
- 멱집합
- 집합 $A$에 대하여,
- $|A| = a$일 때,
- $|P(A)| = 2^a$
- 집합 $A, B$에 대하여,
- $B^A$는 $A$에서 $B$로 가는 모든 함수의 집합이다.
- $B^A = \{f|f:A \rightarrow B\}$
- $|A| = a, |B| = b$일 때,
- $|B^A| = b^a$
- 집합 $A$에 대하여,
- $|A| = a$일 때,
- $|P(A)| = 2^a$
- $2^{\aleph_0} = \varsigma$ ***(증명하기)***
- $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ ***(증명하기)***
- $\varsigma^{\varsigma} = 2^{\varsigma}$ ***(증명하기)***
## 계산
- $A = \{f|f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}$
- $|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}| = \varsigma^{\varsigma} = (2^{\aleph_0})^{\varsigma} = 2^{\aleph_0 \times \varsigma} = 2^{\varsigma} > \varsigma$
# 기수의 순서
## 칸토어 정리
# 다음
- [[3 연속체 가설 Contiuum Hypothesis]]