#수학 #집합론 # 집합의 동등 - 두 집합 $X, Y$에 대해, 전단사함수 $f: X \rightarrow Y$가 존재하면 $X$와 $Y$는 동등이다. ($X \sim Y$) - 유한집합이라면 원소의 개수가 같다, 무한집합이라면 집합의 크기가 같다고 해석한다. # 무한집합과 유한집합 ## 무한집합 - 임의의 집합 $X$와 동등한 진부분집합 $Y$가 존재한다면 $X$는 무한집합이다. - 예를 들어, $(0, 1) \sim \mathbb{R}$이므로 $\mathbb{R}$은 무한집합이다. ## 유한집합 - 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라고 한다. ## 관련 정리 - 공집합은 유한집합이다. - 무한집합을 포함하는 집합은 무한집합이다. - 유한집합의 모든 부분집합은 유한집합이다. - 전단사함수 $f: X \rightarrow Y$에 대해 - $X$가 무한집합이면 $Y$도 무한집합이고, - $X$가 유한집합이면 $Y$도 유한집합이다. - 무한집합 $X$의 부분집합 $Y$가 유한집합이라면 $X - Y$는 무한집합이다. # 가부번집합과 비가부번집합 ## 가부번집합 (번호를 붙일 수 있는 무한집합) - 집합 $X$가 $X \sim \mathbb{N}$일 때 $X$를 가부번집합이라고 한다. ## 가산집합 (셀 수 있는 집합) - 유한집합 혹은 가부번집합을 가산집합이라고 한다. ## 비가산집합 - 가산집합이 아닌 집합 ## 관련 정리 - 가산집합의 부분집합은 가산집합이다. - 가부번집합들의 합집합은 가부번집합이다. - 가부번집합의 무한부분집합은 가부번집합이다. - $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$은 가부번집합이다. ***(증명하기)*** - $\mathbb{Q}$는 가부번집합이다. ***(증명하기)*** - $\mathbb{R}$의 부분집합 $(0, 1)$은 비가산집합이다. ***(증명하기)*** - 무리수 집합 $\mathbb{I}$은 비가산집합이다. - 복소수 집합 $\mathbb{C}$는 비가산집합이다. # 다음 - [[2 집합의 기수 Cardinal Number]]