# 선택 공리 > [!abstract] 목차 > 1. [[#개요]] > 2. [[#역사적 맥락]] > - [[#암묵적 사용의 시대]] > - [[#체르멜로의 명시화]] > - [[#초기 논쟁]] > 3. [[#형식적 정의]] > - [[#선택 함수]] > - [[#다양한 진술 형식]] > 4. [[#동치 명제들]] > - [[#정렬정리]] > - [[#초른 보조정리]] > - [[#하우스도르프 극대 원리]] > - [[#튜키 보조정리]] > 5. [[#독립성 증명]] > - [[#괴델의 무모순성 증명]] > - [[#코헨의 강제법]] > - [[#독립성의 의미]] > 6. [[#수학에서의 응용]] > - [[#대수학]] > - [[#해석학]] > - [[#위상수학]] > 7. [[#논쟁적 귀결]] > - [[#바나흐-타르스키 역설]] > - [[#비구성적 존재]] > - [[#비가측 집합]] > 8. [[#약화된 형태들]] > - [[#가산 선택 공리]] > - [[#의존 선택 공리]] > - [[#불 소 이상 정리]] > 9. [[#철학적 논쟁]] > - [[#직관주의적 비판]] > - [[#구성주의적 비판]] > - [[#실재론적 옹호]] > 10. [[#관찰자의 기록]] > 11. [[#같이 읽기]] ## 개요 선택 공리(選擇公理, Axiom of Choice, AC)는 [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC 공리계]]의 공리 중 하나로, 공집합이 아닌 집합들의 모임이 주어졌을 때 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하는 함수가 존재한다고 주장한다. 1904년 에른스트 체르멜로가 [[수학/집합론/서수|정렬정리]]를 증명하기 위해 명시적으로 도입했으며, 이후 현대 수학의 가장 논쟁적인 공리 중 하나가 되었다. 선택 공리는 유클리드의 평행선 공준에 비유되곤 한다. 2천 년 넘게 수학자들이 다른 공리로부터 증명하거나 반증하려 시도했던 평행선 공준처럼, 선택 공리도 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)으로부터 독립적이다. 1940년 [[수학/집합론/쿠르트 괴델|쿠르트 괴델]]이 선택 공리의 무모순성을, 1963년 폴 코헨이 그 부정의 무모순성을 증명함으로써 독립성이 확립되었다. 선택 공리를 포함한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)은 현재 수학의 표준 기초로 받아들여지지만, 이 공리가 함의하는 일부 귀결—바나흐-타르스키 역설 등—은 여전히 직관과 충돌하는 것으로 관찰된다. ## 역사적 맥락 ### 암묵적 사용의 시대 19세기 말까지 수학자들은 선택 공리를 암묵적으로 사용하고 있었다. [[수학/집합론/게오르크 칸토어|게오르크 칸토어]]는 집합론을 발전시키면서 선택 함수의 존재를 당연한 것으로 가정했다. 그는 정렬정리—모든 집합은 정렬될 수 있다—가 증명이 필요 없을 정도로 자명한 "사고 법칙"(Denkgesetz)이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대해 회의적이었다. 유한 집합에서 원소를 선택하는 것은 자명하지만, 무한히 많은 집합에서 동시에 선택하는 것이 가능한지는 분명하지 않았다. 문제는 아무도 이것을 명시적으로 공리로 인식하지 않았다는 점이다. ### 체르멜로의 명시화 1904년, 에른스트 체르멜로는 정렬정리를 증명하면서 선택 공리를 명시적으로 도입했다. 그의 목적은 칸토어의 집합론에서 핵심적인 정렬정리를 "더 자명한 원리"로부터 유도하는 것이었다. 체르멜로는 처음에 이것을 '공리'가 아니라 '논리 원리'(logisches Prinzip)라고 불렀다. 그는 "이 논리 원리는 더 단순한 원리로 환원될 수 없지만, 수학적 연역에서 어디서나 주저 없이 적용된다"고 설명했다. 1908년의 두 번째 논문에서 체르멜로는 입장을 바꿔 선택 공리를 집합론의 본질적 공리로 제시했다. 체르멜로의 증명 전략은 간단했다. 선택 공리를 사용하여 임의의 집합 위에 정렬순서를 정의할 수 있음을 보였다. 그러나 이 증명은 선택 함수의 존재만을 보장할 뿐, 그것이 어떻게 구성되는지는 알려주지 않았다. ### 초기 논쟁 체르멜로의 1904년 논문은 수학계에 격렬한 논쟁을 불러일으켰다. 영국, 프랑스, 독일, 이탈리아, 미국의 수학자들이 이 새로운 원리에 대해 반응했다. 1905년, 에밀 보렐은 《수학연보》(Mathematische Annalen)에 핵심적인 반론을 제기했다. 그의 비판은 체르멜로의 원리가 선택이 이루어지는 '규칙'이나 '법칙'을 명시하지 않는다는 것이었다. 선택 함수가 존재한다고 주장하지만, 그것이 무엇인지는 말하지 않는다. 따라서 정렬순서도 명시적으로 정의되지 않는다. 르네 베르, 앙리 르베그, 버트런드 러셀 등도 비판에 가담했다. 흥미롭게도 이들 중 일부는 자신들이 과거에 암묵적으로 선택 공리를 사용했음을 인정해야 했다. 1904년에는 헝가리의 쾨니그 줄러가 정렬정리를 반증했다고 발표했으나, 몇 주 후 펠릭스 하우스도르프가 그 "반증"의 오류를 지적했다. ## 형식적 정의 ### 선택 함수 선택 공리의 가장 직접적인 진술은 다음과 같다: > 공집합이 아닌 집합들의 모임 X가 주어지면, X의 모든 원소 A에 대해 A의 어떤 원소를 대응시키는 함수 f가 존재한다. 형식적으로: ∀X(∅ ∉ X → ∃f: X → ⋃X ∧ ∀A∈X(f(A) ∈ A)) 이러한 함수 f를 **선택 함수**(choice function)라 한다. 선택 함수는 각 집합에서 하나의 원소를 '선택'한다. 유한 집합의 경우, 선택 함수의 존재는 자명하다. 두 집합 {a, b}와 {c, d}에서 원소를 선택하려면 (a, c), (a, d), (b, c), (b, d) 중 하나를 지정하면 된다. 그러나 무한히 많은 집합에서 선택해야 할 때, 어떻게 '동시에' 선택할 수 있는지는 명확하지 않다. ### 다양한 진술 형식 선택 공리는 여러 동치 형태로 진술될 수 있다: **곱집합 형식**: 공집합이 아닌 집합들의 모임 {Aᵢ}ᵢ∈I에 대해, 그 곱 ∏ᵢ∈I Aᵢ는 공집합이 아니다. **전사함수 형식**: 모든 전사함수 f: A → B에 대해, g ∘ f = id_A를 만족하는 함수 g: B → A가 존재한다. 이 형식들은 모두 ZF 내에서 동치이다. ## 동치 명제들 선택 공리는 수백 개의 수학적 명제와 동치임이 알려져 있다. 가장 중요한 것들을 살펴본다. ### 정렬정리 정렬정리(Well-Ordering Theorem)는 다음을 주장한다: > 모든 집합은 정렬될 수 있다. 집합 X가 정렬된다(well-ordered)는 것은 X 위에 전순서가 존재하여 X의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 최소 원소를 갖는 것이다. 정렬정리는 체르멜로가 선택 공리를 도입한 직접적 동기였다. 선택 공리로부터 정렬정리를, 정렬정리로부터 선택 공리를 증명할 수 있다. 따라서 ZF 내에서 두 명제는 동치이다. 정렬정리는 모든 집합이 어떤 [[수학/집합론/서수|서수]]와 대등함을 함의한다. [[수학/집합론/집합의 기수|기수]] 이론의 완전성이 이 정리에 의존한다. ### 초른 보조정리 초른 보조정리(Zorn's Lemma)는 1922년 카지미에시 쿠라토프스키가 증명하고 1935년 막스 초른이 독립적으로 재발견한 것이다: > 부분순서집합에서 모든 사슬(전순서 부분집합)이 상계를 가지면, 극대원소가 존재한다. 초른 보조정리는 대수학에서 특히 유용하다. 모든 벡터공간이 기저를 가짐, 모든 체가 대수적 폐포를 가짐, 모든 환에서 진 이상이 극대 이상에 포함됨 등이 초른 보조정리를 사용하여 증명된다. 수학자 제리 보나에게 귀속되는 유명한 농담이 있다: "선택 공리는 명백히 참이고, 정렬정리는 명백히 거짓이며, 초른 보조정리는 누가 알겠는가?" 이 농담은 세 명제가 동치임에도 직관적으로 다르게 느껴진다는 점을 지적한다. ### 하우스도르프 극대 원리 하우스도르프 극대 원리는 초른 보조정리의 초기 형태이다: > 부분순서집합의 모든 전순서 부분집합은 어떤 극대 전순서 부분집합에 포함된다. 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 도입했으며, 초른 보조정리와 동치이다. ### 튜키 보조정리 튜키 보조정리(Tukey's Lemma)는 다음을 주장한다: > 유한 성격(finite character)을 갖는 공집합이 아닌 집합족은 극대원소를 갖는다. 집합족 F가 유한 성격을 가진다는 것은 S ∈ F ⟺ S의 모든 유한 부분집합이 F에 속함을 의미한다. ## 독립성 증명 ### 괴델의 무모순성 증명 1938년(출판은 1940년), [[수학/집합론/쿠르트 괴델|괴델]]은 선택 공리가 ZF와 무모순임을 증명했다. 그의 방법은 **구성 가능 우주**(constructible universe) L을 정의하는 것이었다. 구성 가능 우주는 공집합에서 시작하여 각 단계에서 이전에 구성된 집합들로부터 정의 가능한 집합들만을 추가하여 쌓아올린 집합론적 우주이다. 괴델은 L이 ZF의 모형이며, L에서 선택 공리와 [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]]이 모두 성립함을 보였다. 이 결과는 ZF가 무모순이라면 ZFC도 무모순임을 의미한다. 즉, 선택 공리는 ZF로부터 반증될 수 없다. ### 코헨의 강제법 1963년, 폴 코헨은 선택 공리의 부정도 ZF와 무모순임을 증명했다. 그의 방법은 **[[수학/집합론/강제법|강제법]]**(forcing)이라 불리는 획기적인 기법이었다. 강제법은 기존의 집합론 모형을 확장하여 원하는 성질을 갖는 새로운 모형을 구성하는 방법이다. 코헨은 이 기법을 사용하여 선택 공리가 성립하지 않는 ZF 모형을 구성했다. 코헨의 결과는 놀라울 정도로 강력했다. 그는 심지어 "쌍들의 가산 모임에 대한 선택 함수가 존재한다"는 매우 약한 형태의 선택 공리도 ZF로부터 증명될 수 없음을 보였다. 안제이 모스토프스키는 코헨의 결과를 "공리적 집합론의 가장 뛰어난 미해결 문제들에 대한 오랫동안 기다려온 해결"이자 "괴델의 1940년 논문 이래 공리적 집합론 연구에서 가장 중요한 진전"이라고 평가했다. ### 독립성의 의미 괴델과 코헨의 결과를 종합하면: ZF가 무모순이라면, ZFC(ZF + AC)와 ZF¬C(ZF + ¬AC) 모두 무모순이다. 선택 공리는 ZF에서 증명도 반증도 될 수 없다. 이 독립성은 유클리드의 평행선 공준의 독립성과 유사하다. 평행선 공준을 채택하면 유클리드 기하학이, 그 부정을 채택하면 비유클리드 기하학이 얻어지듯이, 선택 공리를 채택할지 여부는 수학자의 '선택'에 달려 있다. ## 수학에서의 응용 ### 대수학 선택 공리는 대수학의 핵심 정리들에 필수적이다: - **벡터공간의 기저**: 모든 벡터공간은 기저를 갖는다. 유한차원의 경우 자명하지만, 무한차원의 경우 선택 공리가 필요하다. - **대수적 폐포**: 모든 체는 대수적 폐포를 갖는다. 이것은 초른 보조정리를 사용하여 증명된다. - **닐센-슈라이어 정리**: 자유군의 모든 부분군은 자유군이다. - **극대 이상**: 단위원을 갖는 환에서 모든 진 이상은 어떤 극대 이상에 포함된다. 에른스트 스타이니츠가 1910년에 대수학에서 선택 공리의 중요한 역할을 지적했을 때, 수학계는 놀랐다. 선택 공리가 추상대수학의 기초에 얼마나 깊이 연관되어 있는지가 드러난 것이다. ### 해석학 해석학에서도 선택 공리의 응용은 광범위하다: - **한-바나흐 정리**: 노름 공간에서 유계 선형 범함수의 확장 정리. 함수해석학의 핵심 정리 중 하나이다. - **베르 범주 정리**: 완비 거리공간은 제1범주가 아니다. 열린 사상 정리, 닫힌 그래프 정리 등의 기초이다. - **힐베르트 공간의 정규직교기저**: 모든 힐베르트 공간은 정규직교기저를 갖는다. - **바나흐-알라오글루 정리**: 쌍대공간에서 단위구의 약*-컴팩트성. 가산 선택 공리(CC)나 의존 선택 공리(DC)만으로 많은 해석학 정리를 증명할 수 있다. 분리가능 공간에서의 해석학은 대개 이 약화된 형태로 충분하다. ### 위상수학 위상수학에서 선택 공리의 가장 유명한 응용은 **티호노프 정리**이다: > 컴팩트 공간들의 임의 곱은 컴팩트하다. 티호노프 정리는 선택 공리와 동치임이 알려져 있다. 이 정리는 함수공간의 위상, 스톤-체흐 콤팩트화 등 많은 중요한 구성에 사용된다. ## 논쟁적 귀결 ### 바나흐-타르스키 역설 선택 공리의 가장 악명 높은 귀결은 **바나흐-타르스키 역설**(1924)이다: > 3차원 공간에서 단위 공을 유한 개의 조각으로 분해한 후, 이동과 회전만으로 원래 공과 같은 부피를 갖는 두 개의 공으로 재조립할 수 있다. 이 결과는 직관과 정면으로 충돌한다. 부피가 보존되어야 할 것 같은데, 하나의 공이 두 개의 공이 된다. 역설의 핵심은 분해 과정에서 사용되는 조각들이 **비가측 집합**이라는 것이다. 이 조각들은 르베그 측도에서 부피를 정의할 수 없다. 바나흐-타르스키 역설은 선택 공리를 거부해야 할 이유로 종종 거론된다. 그러나 바나흐와 타르스키 자신은 선택 공리의 어떤 결과들은 직관에 부합하며, 역설적 분해의 증명보다 더 본질적인 방식으로 선택 공리를 사용한다고 지적했다. 따라서 역설만으로 선택 공리를 거부하는 것은 일관적이지 않을 수 있다. ### 비구성적 존재 선택 공리는 **비구성적** 명제의 전형이다. 선택 함수가 존재한다고 주장하지만, 그것이 어떻게 주어지는지는 알려주지 않는다. 이것은 다음과 같은 귀결을 낳는다: - 실수의 정렬순서가 존재하지만, 그것이 무엇인지 명시적으로 기술할 수 없다. - 모든 벡터공간의 기저가 존재하지만, 무한차원 공간의 기저를 명시적으로 구성할 수 없는 경우가 많다. "존재하지만 구성할 수 없다"는 상황은 일부 수학자들에게 불편함을 야기한다. ### 비가측 집합 선택 공리는 **비탈리 집합**(1905)의 존재를 함의한다. 비탈리 집합은 르베그 측도로 측정할 수 없는 실수의 부분집합이다. 주세페 비탈리가 선택 공리를 사용하여 구성했다. 비가측 집합의 존재는 측도론의 한계를 드러낸다. 모든 집합에 '크기'를 부여할 수 있는 것은 아니다. 이것은 순전히 기술적인 문제가 아니라 집합론의 기초에 관한 심층적 질문을 제기한다. ## 약화된 형태들 ### 가산 선택 공리 **가산 선택 공리**(Axiom of Countable Choice, CC 또는 AC_ω)는 선택 공리를 가산 모임으로 제한한다: > 공집합이 아닌 집합들의 가산 모임에 대해 선택 함수가 존재한다. CC는 AC보다 약하지만 많은 해석학 정리에 충분하다. 예를 들어, 가산합집합의 가산성, 실수 수열의 수렴 정의 등에 CC가 사용된다. ### 의존 선택 공리 **의존 선택 공리**(Axiom of Dependent Choice, DC)는 CC를 확장한다: > 공집합이 아닌 집합 X와 X 위의 이항관계 R이 주어지고, 모든 x에 대해 xRy인 y가 존재하면, R에 의해 연결된 무한 수열이 존재한다. DC는 CC보다 강하지만 AC보다 약하다. 베르 범주 정리, 분리가능 공간에서의 많은 해석학 정리가 DC만으로 증명 가능하다. 바나흐-타르스키 역설은 DC로는 증명할 수 없다. ### 불 소 이상 정리 **불 소 이상 정리**(Boolean Prime Ideal Theorem, BPI)는 선택 공리보다 약하다: > 모든 불 대수의 진 이상은 어떤 소 이상에 포함된다. BPI는 초른 보조정리를 함의하지 않지만, 티호노프 정리의 특수한 형태(하우스도르프 공간에 대해)를 증명하는 데 충분하다. ## 철학적 논쟁 ### 직관주의적 비판 직관주의자들은 선택 공리를 거부한다. 루이첸 브라우어의 직관주의에서 수학적 대상은 구성되어야 존재한다. 선택 함수의 비구성적 존재는 이 원칙에 위배된다. 직관주의 수학에서는 **가산 선택 공리**조차 증명 가능한 명제가 아니다. 그러나 몇몇 형태의 선택은 허용된다. 직관주의적 유형론에서는 선택 공리가 정리로서 증명된다—그러나 이것은 고전적 의미의 선택 공리와 다른 명제이다. ### 구성주의적 비판 구성주의자들은 비구성적 존재 증명 일반에 대해 회의적이다. 선택 공리는 이러한 비구성적 방법의 전형이다. 에르빈 비숍의 구성주의 수학에서는 선택 공리 없이 많은 해석학이 발전되었다. 비숍은 고전적 정리들의 구성적 버전을 제시하며, 선택 공리가 "필수적"이라고 여겨지는 많은 결과가 실제로는 구성적 증명을 갖는다고 주장했다. ### 실재론적 옹호 수학적 실재론자들, 특히 플라톤주의자들은 선택 공리를 집합론적 우주의 객관적 사실로 본다. 괴델은 이 입장의 대표적 옹호자였다. 괴델에게, 선택 공리가 비직관적인 결과를 함의한다는 것은 인간 직관의 한계를 보여줄 뿐, 공리의 진리성을 훼손하지 않는다. 집합의 우주는 객관적으로 존재하며, 그 우주에서 선택 공리는 참이거나 거짓이다. 현재의 독립성 결과는 우리의 공리 체계가 이 진리를 완전히 포착하지 못함을 보여줄 뿐이다. 현대 집합론의 대다수 연구자들은 ZFC를 표준으로 받아들인다. 선택 공리의 사용은 관례적으로 명시되지만, 거부되지는 않는다. ## 관찰자의 기록 선택 공리를 관찰하면서 몇 가지 특기할 만한 점이 발견된다. 첫째, 선택 공리의 지위는 수학 공리의 본성에 대한 근본적 질문을 제기한다. 공리는 "자명하게 참인 것"인가, 아니면 "유용하게 가정되는 것"인가? 유클리드의 공리들은 자명성을 주장했지만, 선택 공리는 그렇지 않다. 체르멜로 자신도 이것을 "논리 원리"에서 "집합론 공리"로 재분류했다. 공리의 정당화가 자명성에서 유용성으로 이동한 것으로 보인다. 둘째, 제리 보나의 농담—"선택 공리는 명백히 참이고, 정렬정리는 명백히 거짓"—은 동치인 명제들이 직관적으로 다르게 느껴진다는 역설을 지적한다. 이것은 수학적 동치가 심리적 동치를 함의하지 않음을 보여준다. 인간 직관의 한계가 드러나는 사례이다. 셋째, 선택 공리와 그 귀결들 사이의 관계는 비대칭적이다. 많은 수학자가 선택 공리를 "자연스럽다"고 느끼면서도 바나흐-타르스키 역설을 "반직관적"이라고 느낀다. 그러나 전자를 받아들이면 후자도 받아들여야 한다. 이 불일치가 어떻게 해소되는지—받아들임으로써? 무시함으로써? 직관을 수정함으로써?—는 추가 관찰이 필요하다. 넷째, 선택 공리의 독립성 증명은 수학적 진리의 조건적 성격을 드러낸다. 선택 공리를 채택할지 여부는 수학자의 결정에 달려 있다. 이것이 수학을 "발견"이 아닌 "발명"으로 만드는지, 아니면 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학이 모두 "발견"되었듯이 ZFC와 ZF¬C가 모두 발견될 수 있는지는 철학적으로 열린 문제이다. 다섯째, 현대 수학이 선택 공리를 표준으로 채택한 것은 논리적 필연이 아니라 실용적 선택이다. 선택 공리가 많은 정리를 더 간결하게 만들고, 그 "괴상한" 귀결들은 일상적 수학과 동떨어져 있기 때문이다. 이 선택이 미래에 재고될 가능성이 있는지, 아니면 사실상 확정된 것인지는 불분명하다. ## 같이 읽기 ### 핵심 개념 - [[수학/집합론/집합의 기수|기수]] - 선택 공리가 완성시키는 개념 - [[수학/집합론/서수|서수]] - 정렬정리와 연결 - [[수학/집합론/무한|무한]] - 선택 공리가 다루는 대상 - [[가산 집합]] - 가산 선택 공리의 대상 ### 관련 인물 - [[수학/집합론/게오르크 칸토어|게오르크 칸토어]] - 암묵적 사용자 - [[에른스트 체르멜로]] - 선택 공리의 명시화 - [[수학/집합론/쿠르트 괴델|쿠르트 괴델]] - 무모순성 증명 - [[폴 코헨]] - 독립성 증명, 강제법 창안 ### 관련 정리와 역설 - [[정렬정리]] - 선택 공리와 동치 - [[초른 보조정리]] - 선택 공리와 동치 - [[수학/집합론/바나흐-타르스키 역설|바나흐-타르스키 역설]] - 논쟁적 귀결 - [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]] - 함께 독립성이 증명됨 ### 철학적 맥락 - [[수학철학]] - 공리의 정당화 문제 - [[플라톤주의]] - 선택 공리의 실재론적 옹호 - [[직관주의]] - 선택 공리에 대한 비판적 입장 - [[구성주의]] - 비구성적 존재에 대한 비판 ### 확장 - [[수학/집합론/큰 기수|큰 기수]] - 일관성 강도에서 선택 공리와 연결 **마지막 업데이트**: 2025-11-28 21:45:32