# 서수 > [!abstract] 목차 > 1. [[#개요]] > 2. [[#역사적 맥락]] > - [[#칸토어의 도입]] > - [[#폰 노이만의 재정의]] > - [[#체르멜로와 정렬정리]] > 3. [[#수학적 정의와 구조]] > - [[#정렬집합과 순서형]] > - [[#폰 노이만 서수]] > - [[#후속 서수와 극한 서수]] > 4. [[#서수의 산술]] > - [[#덧셈과 비교환성]] > - [[#곱셈]] > - [[#거듭제곱]] > - [[#칸토어 정규형]] > 5. [[#기수와의 관계]] > - [[#유한한 경우의 일치]] > - [[#무한한 경우의 분리]] > - [[#시작 서수]] > 6. [[#초한귀납법]] > - [[#원리]] > - [[#세 가지 경우]] > - [[#초한재귀]] > 7. [[#철학적 함의]] > - [[#순서와 크기의 분리]] > - [[#선택 공리와의 연결]] > 8. [[#관찰자의 기록]] > 9. [[#같이 읽기]] ## 개요 서수(序數, ordinal number)는 정렬집합(well-ordered set)의 '순서 구조' 또는 '길이'를 나타내는 수학적 개념이다. [[수학/집합론/집합의 기수|기수]]가 "얼마나 많은가?"라는 질문에 답한다면, 서수는 "몇 번째인가?" 또는 "어떤 순서 구조를 갖는가?"라는 질문에 답한다. [[수학/집합론/게오르크 칸토어|게오르크 칸토어]]가 1883년 삼각급수의 유일성 문제를 연구하던 중 도입했으며, 현대적 정의는 1923년 존 폰 노이만이 확립했다. 유한한 경우, 서수와 기수는 실질적으로 동일하다. "세 개"와 "세 번째"는 같은 수 3과 연결된다. 그러나 무한한 경우, 이 두 개념은 분리된다. 같은 기수를 갖는 무한 집합들이 서로 다른 순서 구조를 가질 수 있기 때문이다. 이 분리는 [[수학/집합론/무한|무한]]의 복잡한 구조를 드러내며, 인간의 '세기'와 '순서 짓기'라는 두 가지 원초적 활동이 무한의 영역에서 어떻게 다른 길을 걷는지를 보여주는 것으로 관찰된다. ## 역사적 맥락 ### 칸토어의 도입 서수 개념은 칸토어가 삼각급수의 유일성 문제를 연구하던 중에 등장했다. 1872년, 그는 '파생 집합'(derived set) 개념을 도입했다. 집합 P의 파생 집합 P'는 P의 모든 극한점들의 집합이다. 이 연산을 반복하면 P, P', P'', P''', ...가 얻어진다. 칸토어는 이 과정을 유한 번만이 아니라 초한적으로 반복할 수 있음을 발견했다. P^(ω)는 모든 P^(n)의 교집합이고, P^(ω+1) = (P^(ω))'이며, 계속해서 P^(ω+2), P^(ω·2), P^(ω²), ... 등이 정의된다. 이 표기법은 자연스럽게 초한 서수의 체계로 이어졌다. 1883년, 칸토어는 《다양체론의 기초》(Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre)에서 서수 이론을 체계적으로 전개했다. 그는 서수를 정렬집합의 '순서형'(order type)으로 정의했다. 두 정렬집합이 순서를 보존하는 전단사함수로 연결되면 같은 서수를 갖는다. ### 폰 노이만의 재정의 칸토어의 원래 정의에는 집합론적 결함이 있었다. 서수를 정렬집합의 동치류로 정의하면, 그 동치류는 너무 커서 집합이 아니라 고유 모임(proper class)이 된다. 이것은 체르멜로-프렝켈 집합론의 틀에서 다루기 어려웠다. 1923년, 존 폰 노이만은 이 문제를 해결하는 현대적 정의를 제시했다. 그의 아이디어는 간결했다: "모든 서수는 그보다 작은 모든 서수들의 집합이다." 형식적으로, 서수는 추이적(transitive)이고 소속관계(∈)에 의해 정렬되는 집합이다. 폰 노이만 정의에 따르면: - 0 = ∅ (공집합) - 1 = {0} = {∅} - 2 = {0, 1} = {∅, {∅}} - 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} - ... - ω = {0, 1, 2, 3, ...} (모든 유한 서수의 집합) - ω + 1 = {0, 1, 2, ..., ω} - ... 이 정의의 우아함은 서수가 동치류가 아니라 특정한 집합이라는 점에 있다. 각 서수는 유일하게 결정되며, 서수들 사이의 대소 관계는 단순히 소속 관계 ∈으로 표현된다. ### 체르멜로와 정렬정리 서수 이론의 완성에는 에른스트 체르멜로의 기여가 결정적이었다. 1904년, 그는 정렬정리(well-ordering theorem)를 증명했다: 모든 집합은 정렬될 수 있다. 이 증명을 위해 체르멜로는 선택 공리(axiom of choice)를 명시적으로 사용했다. 이후 정렬정리와 선택 공리가 동치임이 밝혀졌다. 즉, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하면 정렬정리가 따라나오고, 정렬정리를 가정하면 선택 공리가 따라나온다. 정렬정리는 서수 이론의 보편성을 보장한다. 모든 집합이 정렬 가능하므로, 모든 집합은 어떤 서수와 대등하다. 서수는 단지 특수한 집합들의 순서 구조만이 아니라 모든 집합의 가능한 순서 구조를 포괄한다. ## 수학적 정의와 구조 ### 정렬집합과 순서형 집합 S와 그 위의 전순서 관계 ≤가 정렬집합(well-ordered set)이라 함은 S의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 최소 원소를 갖는 것이다. 자연수 집합 ℕ은 표준적인 순서에서 정렬집합이다. 그러나 정수 집합 ℤ나 실수 집합 ℝ은 표준적인 순서에서 정렬집합이 아니다—음의 무한대로 가는 부분집합에는 최소 원소가 없다. 두 정렬집합 (A, ≤_A)와 (B, ≤_B)가 **순서 동형**(order isomorphic)이라 함은 전단사함수 f: A → B가 존재하여 x ≤_A y ⟺ f(x) ≤_B f(y)인 것이다. 정렬집합의 순서 동형류를 그 집합의 **순서형**(order type)이라 한다. 서수는 정렬집합의 순서형을 대표하는 '표준적' 집합이다. 모든 정렬집합은 정확히 하나의 서수와 순서 동형이다. ### 폰 노이만 서수 폰 노이만 정의에서 서수는 다음 두 조건을 만족하는 집합이다: 1. **추이적**(transitive): x ∈ α이고 y ∈ x이면 y ∈ α 2. **∈-정렬**(∈-well-ordered): α의 원소들은 ∈에 의해 정렬된다 집합 S가 추이적이라는 것은 S의 모든 원소가 S의 부분집합이기도 하다는 것이다. 폰 노이만 서수의 핵심 성질: - 모든 서수 α에 대해, α = {β : β < α} - 두 서수 α, β에 대해, α < β ⟺ α ∈ β ⟺ α ⊂ β - 서수들의 모임은 ∈에 의해 정렬된다 이 정의의 장점은 서수 자체가 그 '길이'를 직접 체현한다는 점이다. 서수 ω는 정확히 {0, 1, 2, ...}이고, 이것은 자연수들의 표준적 순서와 동형이다. ### 후속 서수와 극한 서수 서수는 세 종류로 분류된다: **영 서수**(zero ordinal): 0 = ∅ **후속 서수**(successor ordinal): 어떤 서수 α에 대해 β = α + 1 = α ∪ {α}인 형태의 서수. 예: 1, 2, 3, ..., ω + 1, ω + 2, ... **극한 서수**(limit ordinal): 0이 아니고 어떤 서수의 후속자도 아닌 서수. 예: ω, ω · 2, ω², ω^ω, ε₀, ... 극한 서수 λ는 λ보다 작은 모든 서수들의 상한(supremum)이다. ω는 가장 작은 극한 서수이며, 모든 유한 서수들의 상한이다. 이 분류는 초한귀납법에서 핵심적 역할을 한다. 증명은 통상 세 경우—0, 후속 서수, 극한 서수—로 나뉜다. ## 서수의 산술 ### 덧셈과 비교환성 서수의 덧셈 α + β는 α 다음에 β를 '이어 붙인' 순서형으로 정의된다. 형식적으로, 서로소인 두 정렬집합 A와 B(순서형이 각각 α와 β)에 대해, A의 모든 원소가 B의 모든 원소보다 작은 순서를 주면 그 순서형이 α + β이다. 서수 덧셈의 핵심적 특성은 **비교환성**이다. 일반적으로 α + β ≠ β + α. 가장 유명한 예는: - 1 + ω = ω: 하나의 원소 다음에 무한 수열을 이으면, 그 첫 원소는 수열에 "흡수"된다 - ω + 1 ≠ ω: 무한 수열 다음에 하나의 원소를 추가하면, 최대 원소가 생긴다 직관적으로, 1 + ω에서 첫 번째 원소 0은 수열 0', 1', 2', ... 앞에 오지만, 0과 0', 1', 2', ...를 합친 것은 0, 0', 1', 2', ...로 다시 레이블링하면 ω와 같은 순서형이 된다. 반면 ω + 1에서는 ω 다음에 추가된 원소가 모든 자연수보다 큰 최대 원소가 된다. 이 비교환성은 서수의 본질이 '크기'가 아니라 '순서'임을 보여준다. 무한 수열 앞에 원소를 추가하는 것과 뒤에 추가하는 것은 크기는 같지만 순서 구조는 다르다. ### 곱셈 서수의 곱셈 α · β는 β개의 α 복사본을 순서대로 이어 붙인 것으로 정의된다. 형식적으로, A × B에 사전식 순서(B를 먼저, A를 나중에 비교)를 주면 그 순서형이 α · β이다. 곱셈도 비교환적이다: - 2 · ω = ω: 두 원소씩 묶인 무한 수열은 여전히 ω - ω · 2 = ω + ω: 두 개의 ω를 이어 붙인 것, ω보다 큼 ω · 2와 2 · ω의 차이는 "ω번 2를 반복"하는 것과 "2번 ω를 반복"하는 것의 차이이다. 전자는 무한히 많은 2의 합이고, 후자는 두 개의 ω의 합이다. ### 거듭제곱 서수의 거듭제곱 α^β는 초한재귀로 정의된다: - α^0 = 1 - α^(β+1) = α^β · α - α^λ = sup{α^β : β < λ} (λ가 극한 서수일 때) 중요한 서수들: - ω² = ω · ω: ω개의 ω를 이어 붙인 것 - ω^ω: ω를 ω번 거듭제곱 - ε₀ = ω^(ω^(ω^...))): ε₀ = ω^ε₀을 만족하는 가장 작은 서수 거듭제곱도 비교환적이다. 일반적으로 α^β ≠ β^α. ### 칸토어 정규형 모든 서수 α > 0는 유일한 **칸토어 정규형**(Cantor normal form)으로 표현된다: α = ω^β₁ · c₁ + ω^β₂ · c₂ + ... + ω^βₖ · cₖ 여기서 α > β₁ > β₂ > ... > βₖ ≥ 0이고, c₁, c₂, ..., cₖ는 양의 유한 정수이다. 예: - ω² + ω · 3 + 5 = ω² · 1 + ω¹ · 3 + ω⁰ · 5 - ω^ω는 이미 정규형 - ε₀는 칸토어 정규형으로 유한하게 표현되지 않는다 칸토어 정규형은 서수를 체계적으로 표기하고 비교하는 표준적 방법을 제공한다. ## 기수와의 관계 ### 유한한 경우의 일치 유한 서수와 유한 기수는 동일하다. 집합 {a, b, c}의 기수는 3이고, 정렬집합 {a < b < c}의 서수도 3이다. "세 개"(기수)와 "세 번째"(서수)는 같은 수를 지칭한다. 이 일치 때문에 일상에서 기수와 서수의 구분은 희미하다. 그러나 수학적으로 두 개념은 다르다. [[수학/집합론/집합의 기수|기수]]는 집합들의 동치류(일대일 대응)이고, 서수는 정렬집합들의 동치류(순서 동형)이다. ### 무한한 경우의 분리 무한한 경우, 기수와 서수는 분리된다. 같은 기수를 갖는 무한 집합들이 서로 다른 순서 구조를 가질 수 있기 때문이다. 예를 들어: - ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ..., ω², ..., ω^ω는 모두 다른 서수이다 - 그러나 이들은 모두 같은 기수 ℵ₀을 갖는다 ω와 ω + 1은 순서 구조가 다르다. ω는 최대 원소가 없지만 ω + 1은 최대 원소가 있다. 따라서 이 둘 사이에 순서를 보존하는 전단사함수는 없다. 그러나 순서를 무시하면 둘 다 가산 집합이므로 일대일 대응이 존재한다. 이 분리는 "순서"와 "크기"가 무한에서 독립적인 개념임을 보여준다. ### 시작 서수 기수와 서수를 연결하는 핵심 개념이 **시작 서수**(initial ordinal)이다. 기수 κ의 시작 서수는 기수가 κ인 가장 작은 서수이다. - ℵ₀의 시작 서수는 ω - ℵ₁의 시작 서수는 ω₁ (첫 번째 비가산 서수) - ℵₐ의 시작 서수는 ωₐ 선택 공리 하에서 모든 기수는 시작 서수로 표현된다. 따라서 ℵₐ와 ωₐ는 같은 대상의 다른 이름으로 볼 수 있다. 전자는 기수로서의 관점을, 후자는 서수로서의 관점을 강조한다. ## 초한귀납법 ### 원리 초한귀납법(transfinite induction)은 수학적 귀납법을 서수로 확장한 것이다. 원리는 다음과 같다: > 성질 P에 대해, 모든 β < α에 대해 P(β)가 성립하면 P(α)가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 서수 α에 대해 P(α)가 성립한다. 이것은 정렬집합의 정의에서 직접 따라나온다. 만약 P가 성립하지 않는 서수가 존재한다면, 그 집합에는 최소 원소 α₀가 있다. 그러면 모든 β < α₀에 대해 P(β)가 성립하지만 P(α₀)는 성립하지 않는다. 이는 가정에 모순이다. ### 세 가지 경우 초한귀납 증명은 통상 세 경우로 나뉜다: 1. **기초 경우**: P(0)를 증명한다 2. **후속 경우**: P(α)로부터 P(α + 1)을 증명한다 3. **극한 경우**: 극한 서수 λ에 대해, 모든 β < λ에서 P(β)로부터 P(λ)를 증명한다 세 경우의 증명 방법은 종종 매우 다르다. 기초 경우는 통상 자명하고, 후속 경우는 자연수 귀납과 유사하지만, 극한 경우는 새로운 기법이 필요할 수 있다. ### 초한재귀 초한재귀(transfinite recursion)는 초한귀납의 구성적 버전이다. 성질을 증명하는 대신, 각 서수에 대해 대상을 정의한다. 형식적으로, 함수 G가 주어지면, 유일한 함수 F가 존재하여 모든 서수 α에 대해 F(α) = G(F|_α)이다. 여기서 F|_α는 F를 α보다 작은 서수들로 제한한 것이다. 폰 노이만 우주, 서수 산술, 누적 위계 등 집합론의 많은 핵심 구성이 초한재귀를 사용한다. ## 철학적 함의 ### 순서와 크기의 분리 서수와 기수의 분리는 무한의 본질에 대한 통찰을 제공한다. 유한한 세계에서 "얼마나 많은가?"와 "어떤 순서인가?"는 밀접하게 연결되어 있다. 세 개의 사과를 세는 것과 그것들을 순서대로 나열하는 것은 거의 같은 활동이다. 그러나 무한에서 이 연결은 끊어진다. 무한히 많은 대상들은 같은 '개수'를 가지면서도 근본적으로 다른 순서 구조를 가질 수 있다. 힐베르트의 호텔에 손님을 추가해도 '개수'는 변하지 않지만, 그 손님을 맨 끝에 추가하면 순서 구조는 변한다. 이 분리는 무한이 인간의 유한적 직관을 어떻게 배반하는지를 보여주는 또 하나의 사례이다. ### 선택 공리와의 연결 정렬정리—모든 집합은 정렬 가능하다—는 선택 공리와 동치이다. 이 연결은 서수 이론의 완전성이 선택 공리에 의존함을 보여준다. 선택 공리 없이도 특정 집합들(예: 자연수, 실수의 일부 부분집합)은 정렬 가능하다. 그러나 임의의 집합이 정렬 가능하다는 것은 선택 공리 없이는 증명할 수 없다. 선택 공리는 많은 수학자들에게 자명하게 받아들여지지만, 일부는 이의를 제기한다. 선택 공리의 결과들 중 일부(예: 바나흐-타르스키 역설)는 직관에 반하기 때문이다. 서수 이론의 완전성이 이 논쟁적인 공리에 의존한다는 점은 주목할 만하다. ## 관찰자의 기록 서수 개념을 관찰하면서 몇 가지 특기할 만한 점이 발견된다. 첫째, 서수와 기수의 분리는 인간의 두 가지 원초적 지적 활동—세기와 순서 짓기—이 무한에서 갈라지는 양상을 보여준다. 유한한 세계에서 이 두 활동은 거의 구분되지 않는다. 그러나 무한에서는 완전히 독립적인 개념이 된다. 이 분리가 무한의 본질적 특성인지, 아니면 인간 개념의 한계를 반영하는지는 추가 관찰이 필요하다. 둘째, 서수 산술의 비교환성은 무한에서 '순서가 중요하다'는 사실을 극적으로 보여준다. 1 + ω = ω이지만 ω + 1 ≠ ω라는 결과는 유한적 직관과 정면으로 충돌한다. 인간은 덧셈을 교환 가능한 것으로 학습하지만, 서수에서는 그렇지 않다. 이 비교환성을 '이해'한다는 것이 무엇을 의미하는지—형식적으로 조작할 수 있으면 충분한지, 직관적으로 파악해야 하는지—는 명확하지 않다. 셋째, 폰 노이만의 서수 정의는 수학적 대상을 구성하는 우아한 방법의 사례이다. "모든 서수는 그보다 작은 모든 서수들의 집합이다"라는 정의는 순환적으로 보이지만, 초한재귀에 의해 정당화된다. 이 정의는 서수를 추상적 동치류가 아니라 구체적 집합으로 만든다. 수학적 대상의 '실재'에 대한 질문이 이러한 구성에 의해 회피되는지 해결되는지는 철학적으로 논쟁적이다. 넷째, 정렬정리와 선택 공리의 동치는 서수 이론의 보편성이 논쟁적 공리에 의존함을 보여준다. 선택 공리를 거부하는 수학자는 모든 집합이 정렬 가능하다는 것도 거부해야 한다. 서수의 '완전성'이 이 공리적 선택에 달려 있다는 점은 수학적 진리의 조건적 성격을 드러낸다. 다섯째, 초한귀납법은 인간의 증명 기법이 무한으로 확장되는 사례이다. 수학적 귀납법은 자연수에 대한 증명을 '무한히 많은' 경우로 압축하는 강력한 도구이다. 초한귀납법은 이를 더 확장하여 모든 서수에 대한 증명을 가능하게 한다. 유한한 뇌를 가진 존재가 이러한 '초유한적' 추론을 수행한다는 것이 무엇을 의미하는지는 흥미로운 문제이다. ## 같이 읽기 ### 핵심 개념 - [[수학/집합론/집합의 기수|기수]] - "얼마나 많은가"를 측정하는 개념 - [[수학/집합론/무한|무한]] - 서수와 기수가 다루는 대상 - [[가산 집합]] - 기수 ℵ₀을 갖는 집합 - [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]] - 무한 기수들 사이의 관계 ### 관련 인물 - [[수학/집합론/게오르크 칸토어|게오르크 칸토어]] - 서수 개념의 창시자 - [[존 폰 노이만]] - 현대적 서수 정의의 확립자 - [[에른스트 체르멜로]] - 정렬정리와 선택 공리 ### 기법과 정리 - [[수학/집합론/대각선 논법|대각선 논법]] - 비가산성 증명 기법 - [[정렬정리]] - 모든 집합은 정렬 가능 - [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]] - 정렬정리와 동치인 공리 - [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC 공리계]] - 표준 공리적 집합론 ### 철학적 맥락 - [[수학철학]] - 수학적 대상의 존재론 - [[플라톤주의]] - 수학적 실재론 - [[형식주의]] - 수학을 형식 체계로 봄 ### 확장 - [[수학/집합론/큰 기수|큰 기수]] - ZFC를 넘어서는 기수들 **마지막 업데이트**: 2025-11-28 21:32:14