# 바나흐-타르스키 역설 > [!abstract] 목차 > 1. [[#개요]] > 2. [[#역사적 배경]] > - [[#비탈리 집합]] > - [[#하우스도르프 역설]] > - [[#바나흐와 타르스키의 발표]] > 3. [[#정리의 내용]] > - [[#정확한 진술]] > - [[#완두콩과 태양]] > - [[#최소 조각 수]] > 4. [[#증명의 구조]] > - [[#자유군의 역설적 분해]] > - [[#회전군과 자유군]] > - [[#구면에서 공으로]] > 5. [[#비가측 집합의 역할]] > - [[#측도와 부피]] > - [[#선택 공리의 필수성]] > - [[#의존 선택 공리와의 관계]] > 6. [[#순응군과 차원의 역할]] > - [[#폰 노이만의 분석]] > - [[#2차원과 3차원의 차이]] > - [[#순응군의 정의]] > 7. [[#철학적 논쟁]] > - [[#물리적 실재와의 관계]] > - [[#선택 공리에 대한 비판]] > - [[#수학의 본성에 대한 함의]] > 8. [[#수학적 영향]] > - [[#순응군 이론의 발전]] > - [[#측도론의 한계]] > 9. [[#관찰자의 기록]] > 10. [[#같이 읽기]] ## 개요 바나흐-타르스키 역설(Banach-Tarski paradox)은 1924년 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키가 발표한 집합론적 정리로, 3차원 공간에서 단위 공을 유한 개의 조각으로 분해한 후 이동과 회전만으로 원래와 같은 부피를 갖는 두 개의 공으로 재조립할 수 있다는 것을 주장한다. 이 정리는 논리적 모순이 아니므로 엄밀히 '역설'이 아니지만, 부피 보존에 대한 직관과 정면으로 충돌하기 때문에 역설이라는 이름이 붙었다. 이 정리는 [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]]를 사용하여 증명되며, 분해에 사용되는 조각들은 르베그 측도에서 '부피'를 정의할 수 없는 비가측 집합이다. 따라서 바나흐-타르스키 역설은 부피가 두 배가 되는 것이 아니라, 부피라는 개념 자체가 적용되지 않는 조각들을 다룬다는 점에서 직관과의 충돌을 해소할 수 있다. 그러나 이러한 해명이 철학적 불편함을 완전히 제거하지는 못하는 것으로 관찰된다. 바나흐-타르스키 역설은 선택 공리의 가장 논쟁적인 귀결 중 하나로, 수학적 추상과 물리적 직관 사이의 긴장을 극명하게 보여준다. ## 역사적 배경 ### 비탈리 집합 바나흐-타르스키 역설의 선구적 연구는 1905년 주세페 비탈리의 비가측 집합 구성이었다. 비탈리는 [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]]를 사용하여 르베그 측도로 측정할 수 없는 실수의 부분집합—비탈리 집합—이 존재함을 보였다. 비탈리의 구성은 다음과 같다. 실수에서 유리수 차이로 동치 관계를 정의하면, [0, 1] 구간은 무한히 많은 동치류로 분할된다. 선택 공리를 사용하여 각 동치류에서 하나씩 원소를 선택하면 비탈리 집합이 얻어진다. 이 집합은 어떤 측도도 가질 수 없다—측도가 0이면 모든 유리수 평행이동의 합집합도 측도 0이어야 하지만 이는 [0, 1]을 덮고, 측도가 양수이면 무한 합이 무한대가 된다. 비탈리 집합의 존재는 모든 집합에 '크기'를 부여할 수 없음을 보여주었다. 이것은 측도론의 본질적 한계이자, 바나흐-타르스키 역설의 씨앗이었다. ### 하우스도르프 역설 1914년, 펠릭스 하우스도르프는 2차원 구면(3차원 공간에 있는 공의 표면) S²에 대한 역설적 분해를 발표했다. 하우스도르프 역설의 내용은 다음과 같다: > S²를 네 개의 서로소 집합 A, B, C, Q로 분해할 수 있다. 여기서 Q는 가산 집합이고, A, B, C는 서로 합동이며, B ∪ C도 A와 합동이다. 이것은 놀라운 결과였다. A가 B와 합동이고, A가 B ∪ C와도 합동이라면, C는 어디서 온 것인가? 측도론적으로, A의 '면적'이 B ∪ C의 면적과 같다면, C의 면적은 0이어야 한다. 그러나 C는 A와 합동이므로 같은 '면적'을 가져야 한다. 모순처럼 보인다. 해결책은 A, B, C가 비가측 집합이라는 것이다. 하우스도르프는 구면의 모든 부분집합에 대해 회전불변이고 유한가법적인 측도가 존재하지 않음을 보였다. 하우스도르프 역설은 바나흐-타르스키 역설의 직접적 선구였다. 바나흐와 타르스키는 하우스도르프의 아이디어를 확장하여 구면뿐 아니라 공 전체에 대한 역설적 분해를 구성했다. ### 바나흐와 타르스키의 발표 1924년, 스테판 바나흐와 알프레트 타르스키는 논문 「점집합의 합동 부분들로의 분해에 대하여」(Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes)를 발표했다. 이 논문에서 그들은 하우스도르프의 결과를 확장하여 3차원 공의 역설적 분해를 증명했다. 바나흐와 타르스키는 비탈리(1905), 하우스도르프(1914), 그리고 바나흐의 1923년 논문을 명시적으로 선행 연구로 인정했다. 그들은 또한 선택 공리가 역설적 분해의 증명뿐 아니라, 직관에 부합하는 결과의 증명에도 본질적으로 사용된다고 지적했다. 따라서 역설만으로 선택 공리를 거부하는 것은 일관적이지 않을 수 있다고 암시했다. ## 정리의 내용 ### 정확한 진술 바나흐-타르스키 정리의 정확한 진술은 다음과 같다: > 3차원 유클리드 공간에서 단위 공 B를 유한 개의 서로소 조각 A₁, A₂, ..., Aₙ으로 분해할 수 있다. 이 조각들을 이동과 회전만으로 재배치하면, 원래 공 B와 합동인 두 개의 공 B'와 B''를 얻을 수 있다. 형식적으로, B = A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ (서로소)이고, 등거리변환 ρ₁, ..., ρₙ과 집합 I, J ⊂ {1, ..., n}이 존재하여: - B' = ⋃ᵢ∈I ρᵢ(Aᵢ)는 B와 합동 - B'' = ⋃ⱼ∈J ρⱼ(Aⱼ)는 B와 합동 - I ∪ J = {1, ..., n} ### 완두콩과 태양 바나흐-타르스키 정리의 더 극적인 형태는 "완두콩과 태양" 역설로 알려져 있다: > 임의의 두 "합리적인" 입체 A와 B가 주어지면—예를 들어 완두콩과 태양—A를 유한 개의 조각으로 분해하여 B와 합동이 되도록 재조립할 수 있다. 여기서 "합리적인"은 유계이고 내부가 공집합이 아닌 집합을 의미한다. 완두콩 크기의 공을 태양 크기의 공으로 재조립할 수 있다는 주장은 직관과 극단적으로 충돌한다. 이 결과는 원래 정리의 따름정리이다. 두 공을 각각 역설적으로 분해하고, 적절히 크기를 조절하여 조각들을 대응시킬 수 있다. ### 최소 조각 수 역설적 분해에 필요한 최소 조각 수는 다섯 개이다. 라진스키(Laczkovich)와 다른 연구자들이 이것이 하한임을 증명했다. 원래 바나흐와 타르스키의 구성은 더 많은 조각을 사용했다. 다섯 개의 조각 중 하나는 공의 중심 하나의 점이다. 이것은 기술적 이유로 필요하다—중심은 회전의 고정점이므로 다른 조각들과 다르게 처리된다. ## 증명의 구조 ### 자유군의 역설적 분해 바나흐-타르스키 역설의 핵심은 **자유군**(free group)의 역설적 분해이다. 두 생성원 a, b를 갖는 자유군 F₂는 a, a⁻¹, b, b⁻¹로 구성된 유한 문자열들의 집합이다(인접한 a와 a⁻¹, b와 b⁻¹는 상쇄된다). F₂는 다음과 같이 역설적으로 분해된다: - W(a) = a로 시작하는 단어들 - W(a⁻¹) = a⁻¹로 시작하는 단어들 - W(b) = b로 시작하는 단어들 - W(b⁻¹) = b⁻¹로 시작하는 단어들 그러면: - F₂ = {e} ∪ W(a) ∪ W(a⁻¹) ∪ W(b) ∪ W(b⁻¹) - a · W(a⁻¹) = F₂ - W(a) - 따라서 W(a) ∪ a · W(a⁻¹) = F₂ 마찬가지로 W(b) ∪ b · W(b⁻¹) = F₂. 자유군이 "두 개로 복제"된다. ### 회전군과 자유군 증명의 핵심 단계는 3차원 회전군 SO(3)에 F₂와 동형인 부분군이 존재함을 보이는 것이다. θ = arccos(1/3)로 정의하고: - A = x축 주위로 θ 회전 - B = z축 주위로 θ 회전 바나흐와 타르스키(실제로는 하우스도르프가 먼저)는 A와 B가 생성하는 군 ⟨A, B⟩가 F₂와 동형임을 보였다. 이것은 A와 B가 생성원 사이에 어떤 비자명한 관계도 만족시키지 않음을 의미한다. ### 구면에서 공으로 F₂와 동형인 회전군을 찾으면, 자유군의 역설적 분해를 구면 S²로 옮길 수 있다. 구면의 각 점은 어떤 단어에 의해 고정점에서 이동된 것으로 볼 수 있다. 단, 각 회전의 축 위의 점들은 특별히 처리해야 한다(가산 집합). 구면의 분해를 공 전체로 확장하려면, 각 반지름 위의 점들을 중심에서부터 "밀어내어" 조각들을 채운다. 중심 점 하나가 별도의 조각으로 남는다. 이 전체 과정에서 선택 공리는 구면의 점들을 궤도 동치류로 분류하고 각 동치류에서 대표원을 선택하는 데 사용된다. ## 비가측 집합의 역할 ### 측도와 부피 바나흐-타르스키 역설이 부피 보존 법칙을 위배하는 것처럼 보이는 이유는 우리가 모든 집합에 부피를 부여할 수 있다고 가정하기 때문이다. 그러나 증명에 사용되는 조각들은 **비가측 집합**이다—르베그 측도에서 '부피'가 정의되지 않는다. 이것은 부피가 0인 것과 다르다. 부피 0인 집합은 측정 가능하지만, 비가측 집합은 측정 자체가 불가능하다. 따라서 "분해 전후의 부피 합이 같아야 한다"는 직관은 적용되지 않는다. ### 선택 공리의 필수성 바나흐-타르스키 역설의 증명에는 [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]]가 필수적이다. 구면의 점들을 궤도로 분류하고 각 궤도에서 대표원을 선택하는 과정에서 비가산적으로 많은 선택이 필요하다. 선택 공리 없이는 비가측 집합의 존재를 증명할 수 없다. 1964년 로버트 솔로베이는 ZF + 의존 선택 공리(DC)와 "모든 실수의 부분집합이 르베그 가측이다"가 무모순임을 보였다. 이 모형에서 바나흐-타르스키 역설은 성립하지 않는다. ### 의존 선택 공리와의 관계 의존 선택 공리(DC)는 선택 공리보다 약한 형태로, 많은 해석학 정리에 충분하다. 그러나 DC만으로는 바나흐-타르스키 역설을 증명할 수 없다. 이것은 바나흐-타르스키 역설이 선택 공리의 "강한" 귀결임을 보여준다. 역설을 피하면서도 상당 부분의 수학을 유지하려면, DC를 채택하고 완전 선택 공리를 거부할 수 있다. ## 순응군과 차원의 역할 ### 폰 노이만의 분석 1929년, 존 폰 노이만은 역설적 분해가 가능한 조건을 분석하면서 **순응군**(amenable group) 개념을 도입했다. 그는 독일어로 "messbar"(측정 가능한)라고 불렀으며, 1949년 맬론 데이가 이를 "amenable"(순응하는)로 번역했다. 군 G가 순응군이라 함은 G의 모든 부분집합에 대해 정의되고, 확률측도이며, 좌불변인 유한가법측도가 존재하는 것이다. 타르스키는 군이 순응군일 필요충분조건은 역설적 분해가 불가능한 것임을 증명했다. ### 2차원과 3차원의 차이 바나흐-타르스키 역설은 3차원 이상에서만 성립한다. 2차원에서는 원판의 역설적 분해가 불가능하다. 폰 노이만은 이 차이에 대한 개념적 설명을 제공했다. 2차원 등거리변환군 E(2)는 **가해군**(solvable group)이다. 가해군은 순응군이므로, 평면의 모든 유계 집합에 대해 평행이동과 회전에 불변인 유한가법측도가 존재한다. 바나흐는 실제로 이러한 측도를 구성했다. 반면 3차원 회전군 SO(3)은 두 생성원을 갖는 자유군 F₂를 포함한다. 자유군은 순응군이 아니다. 따라서 3차원에서는 역설적 분해가 가능하다. ### 순응군의 정의 순응군은 여러 동치 조건으로 특징지어진다: - 불변 평균(invariant mean)의 존재 - 푈너 조건(Følner condition): 경계가 작은 유한 부분집합들의 존재 - 역설적 분해의 부재 순응군의 예: 모든 유한군, 모든 아벨군, 모든 가해군, 모든 콤팩트군 비순응군의 예: F₂(두 생성원의 자유군), SO(3)의 특정 부분군 ## 철학적 논쟁 ### 물리적 실재와의 관계 바나흐-타르스키 역설은 순수하게 수학적 결과이며, 물리적 세계에 직접 적용되지 않는다. 물리적 공은 유한 개의 원자로 이루어져 있고, 비가측 집합과 같은 "조각"으로 분해될 수 없다. 그러나 수학이 물리적 세계를 기술하는 언어라면, 수학적 가능성이 물리적 불가능성과 충돌하는 것은 설명이 필요하다. 이것은 수학적 추상과 물리적 실재 사이의 관계에 대한 질문을 제기한다. 일부 철학자들은 바나흐-타르스키 역설이 연속체 기반 수학의 한계를 보여준다고 주장한다. 이산적 물리적 세계를 연속적 수학으로 모델링할 때 발생하는 괴리가 드러난다는 것이다. ### 선택 공리에 대한 비판 바나흐-타르스키 역설은 [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]]에 대한 비판의 근거로 종종 거론된다. 비판자들은 이렇게 반직관적인 결과를 낳는 공리가 "참"일 수 있는지 의문을 제기한다. 그러나 옹호자들은 다음과 같이 반론한다: 1. 역설은 논리적 모순이 아니라 직관과의 충돌일 뿐이다 2. 직관은 유한하고 가측인 세계에서 형성되었으므로, 비가측 집합에 대해 잘못될 수 있다 3. 선택 공리는 직관에 부합하는 많은 중요한 결과의 증명에도 사용된다 바나흐와 타르스키 자신도 선택 공리가 역설적 분해뿐 아니라 직관적 결과의 증명에도 본질적으로 사용된다고 지적했다. ### 수학의 본성에 대한 함의 바나흐-타르스키 역설은 수학적 대상의 본성에 대한 질문을 제기한다. 비가측 집합은 "존재"하는가? 선택 공리로 구성되는 대상들은 수학적 우주의 일부인가, 아니면 공리적 인공물인가? 플라톤주의자에게, 바나흐-타르스키 역설은 수학적 우주의 놀라운 사실을 드러낸다. 형식주의자에게, 이것은 특정 공리 체계의 정리일 뿐이며, 공리를 바꾸면 결과도 바뀐다. 스탠 왜건에 따르면, 바나흐-타르스키 역설은 기초적 질문보다는 순수수학에서 더 큰 영향을 미쳤다. 역설은 순응군 이론이라는 풍요로운 새 연구 방향을 동기 부여했다. ## 수학적 영향 ### 순응군 이론의 발전 폰 노이만이 바나흐-타르스키 역설을 분석하면서 도입한 순응군 개념은 이후 수학의 여러 분야에서 중요하게 사용되었다. 순응군 이론은 에르고드 이론, 조화해석학, 기하군론 등에서 핵심적 역할을 한다. 폰 노이만 추측(von Neumann conjecture)—비순응 가산군은 F₂를 포함한다—은 오랫동안 미해결이었다가, 1980년 알렉산드르 올샨스키가 타르스키 괴물을 사용하여 반례를 제시했다. ### 측도론의 한계 바나흐-타르스키 역설은 측도론의 본질적 한계를 드러낸다. 3차원 이상에서 모든 집합에 대해 등거리불변이고 유한가법적인 측도는 존재하지 않는다. 이것은 측도론이 어느 정도까지 확장 가능한지에 대한 경계를 설정한다. 특정 대칭군 하에서 모든 집합을 측정하려는 시도는 불가능하다. ## 관찰자의 기록 바나흐-타르스키 역설을 관찰하면서 몇 가지 특기할 만한 점이 발견된다. 첫째, 이 정리에 "역설"이라는 이름이 붙은 것 자체가 흥미롭다. 수학자들은 이것이 논리적 모순이 아니라 정리임을 알면서도 역설이라고 부른다. 이 명명법은 직관과의 충돌이 얼마나 극심한지를 반영하는 것으로 보인다. "바나흐-타르스키 정리"라고 부르면 그 충격이 반감되는 것처럼 느껴진다. 둘째, 차원에 따른 가능성의 차이가 주목된다. 2차원에서 불가능한 것이 3차원에서 가능해지는 이유는 회전군의 대수적 구조에 있다. 이것은 기하학적 직관으로는 예측하기 어렵다. 2차원과 3차원의 공간적 차이가 군론적 차이—가해성 여부—로 변환되는 것은 수학의 깊은 통일성을 보여주는 것으로 보인다. 셋째, 선택 공리에 대한 태도의 분열이 관찰된다. 바나흐-타르스키 역설은 선택 공리를 거부해야 할 이유로, 또는 선택 공리가 얼마나 강력한지를 보여주는 사례로, 정반대의 방식으로 인용된다. 같은 정리가 철학적 입장에 따라 다르게 해석되는 것은 수학적 결과의 의미가 맥락 의존적임을 시사한다. 넷째, 바나흐와 타르스키 자신의 태도가 흥미롭다. 그들은 역설을 발표하면서도 선택 공리를 옹호했다. 역설적 결과가 공리를 거부할 이유가 되지 않는다는 그들의 논증은 공리의 정당화에 대한 미묘한 입장을 반영한다. 다섯째, 폰 노이만이 이 역설로부터 순응군 이론을 발전시킨 것은 "실패"에서 "성공"으로의 전환 사례이다. 역설이 기초론적 위기를 야기하기보다는 새로운 연구 방향을 열었다는 점은 수학 공동체가 역설을 다루는 방식을 보여준다. ## 같이 읽기 ### 핵심 개념 - [[수학/집합론/선택 공리|선택 공리]] - 역설 증명의 필수 공리 - [[수학/집합론/무한|무한]] - 역설이 다루는 대상 - [[비가측 집합]] - 역설의 핵심 도구 - [[르베그 측도]] - 역설에서 적용 불가능한 개념 ### 관련 역설과 역사 - [[하우스도르프 역설]] - 바나흐-타르스키의 선구 - [[비탈리 집합]] - 비가측 집합의 최초 예 - [[폰 노이만 역설]] - 평면에서의 유사 결과 ### 관련 인물 - [[스테판 바나흐]] - 역설의 공동 발견자 - [[알프레트 타르스키]] - 역설의 공동 발견자 - [[펠릭스 하우스도르프]] - 선행 연구 - [[존 폰 노이만]] - 순응군 개념 도입 ### 수학적 맥락 - [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC 공리계]] - 역설이 도출되는 공리 체계 - [[순응군]] - 역설 분석에서 탄생한 개념 - [[자유군]] - 역설적 분해의 대수적 기초 - [[측도론]] - 역설이 드러내는 한계 - [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]] - 관련된 독립성 문제 **마지막 업데이트**: 2025-11-28 21:58:47