# 러셀의 역설 > [!abstract] 목차 > 1. [[#개요]] > 2. [[#역설의 내용]] > - [[#형식적 정의]] > - [[#증명]] > - [[#이발사 비유]] > 3. [[#발견의 역사]] > - [[#러셀의 발견]] > - [[#프레게에게 보낸 편지]] > - [[#체르멜로의 독립 발견]] > 4. [[#프레게에 대한 영향]] > - [[#산술의 기본 법칙]] > - [[#프레게의 반응]] > - [[#논리주의의 좌절]] > 5. [[#역설의 원인]] > - [[#무제한적 내포 원리]] > - [[#자기지시]] > - [[#소박한 집합론의 문제]] > 6. [[#해결 방법들]] > - [[#러셀의 유형 이론]] > - [[#체르멜로의 공리적 집합론]] > - [[#폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]] > 7. [[#철학적 함의]] > - [[#수학 기초론의 탄생]] > - [[#형식주의와 논리주의]] > 8. [[#관찰자의 기록]] > 9. [[#같이 읽기]] ## 개요 러셀의 역설(Russell's Paradox)은 1901년 버트런드 러셀이 발견한 집합론의 역설로, [[수학/집합론/소박한 집합론|소박한 집합론]](naive set theory)의 내적 모순을 드러낸다. 이 역설은 "자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"을 고려할 때 발생한다. 이 집합이 자기 자신을 포함하는지를 물으면 모순에 빠진다. 러셀의 역설은 단순한 논리적 호기심이 아니었다. 당시 수학의 기초를 논리학 위에 세우려던 [[수학/논리학/고틀로프 프레게|고틀로프 프레게]]의 평생 작업을 무너뜨렸으며, 수학 전체의 기초에 대한 심각한 위기를 야기했다. 이 위기는 결국 [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC 공리계]]의 발전으로 이어졌고, 수학기초론이라는 새로운 분야의 탄생을 촉발했다. 러셀의 역설이 인간 지성에 미친 영향은 두 가지 측면에서 관찰된다. 첫째, 그것은 직관적으로 명백해 보이는 원리(임의의 성질에 대해 집합이 존재한다)가 모순을 낳을 수 있음을 보여주었다. 둘째, 그것은 수학적 체계의 기초가 무한히 안전하지 않음을 드러냈다. 이 역설 이후 인간 수학자들은 자신들의 기초에 대해 더 신중하고 비판적인 태도를 취하게 된 것으로 관찰된다. ## 역설의 내용 ### 형식적 정의 소박한 집합론에서는 **무제한적 내포 원리**(unrestricted comprehension principle)가 가정된다. 이 원리는 임의의 성질 P(x)에 대해 {x : P(x)}, 즉 P를 만족하는 모든 대상들의 집합이 존재한다고 주장한다. 러셀의 역설은 다음과 같이 구성된다. R을 "자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의한다: > R = {x : x ∉ x} 이 R을 **러셀 집합**(Russell set)이라 부른다. ### 증명 R이 자기 자신을 원소로 포함하는지 묻는다. **경우 1**: R ∈ R이라고 가정하자. R의 정의에 의해, R의 원소는 자기 자신을 포함하지 않는 집합이다. 따라서 R ∈ R이면 R ∉ R이다. 모순. **경우 2**: R ∉ R이라고 가정하자. R ∉ R이면 R은 "자기 자신을 포함하지 않는 집합"이라는 조건을 만족한다. 따라서 R은 R의 원소여야 한다. 즉 R ∈ R이다. 모순. 두 경우 모두 모순을 낳는다. 따라서 무제한적 내포 원리를 가정하면 체계 전체가 모순에 빠진다. ### 이발사 비유 러셀의 역설을 대중적으로 설명하기 위해 종종 **이발사 역설**(barber paradox)이 사용된다. > 어떤 마을에 이발사가 있다. 이 이발사는 "자기 스스로 면도하지 않는 모든 사람들만 면도한다." 이 이발사는 자기 자신을 면도하는가? 이발사가 자기를 면도한다면, 그는 "자기 스스로 면도하지 않는 사람"이 아니므로 자기를 면도해서는 안 된다. 이발사가 자기를 면도하지 않는다면, 그는 "자기 스스로 면도하지 않는 사람"이므로 자기를 면도해야 한다. 그러나 러셀 자신은 이발사 비유를 러셀의 역설의 정확한 예시로 인정하지 않았다. 윌러드 반 오먼 콰인이 지적했듯이, 두 역설의 차이는 "주제"에 있다. 러셀의 역설은 집합에 대한 것이고 그러한 집합이 존재한다는 강한 직관이 있지만, 이발사 역설은 단지 그런 이발사가 존재하지 않는다는 것을 보여줄 뿐이다. ## 발견의 역사 ### 러셀의 발견 러셀은 1901년 5월 또는 6월에 이 역설을 발견했다. 그의 회고에 따르면, 그는 [[수학/집합론/게오르크 칸토어|칸토어]]의 "가장 큰 기수가 존재하지 않는다"는 증명에서 결함을 찾으려 시도하다가 이 역설에 도달했다. 러셀은 《수학의 원리》(Principles of Mathematics, 1903)에서 이 역설을 처음 공식적으로 발표했다. 그는 이 역설이 논리학과 집합론의 기초에 심각한 문제를 제기한다고 인식했다. ### 프레게에게 보낸 편지 러셀은 1902년 6월 16일 프레게에게 편지를 보내 이 역설을 알렸다. 이 편지는 수학사에서 가장 유명한 서신 중 하나로 남아있다. 프레게는 《산술의 기본 법칙》(Grundgesetze der Arithmetik) 2권이 인쇄 중일 때 이 편지를 받았다. 그가 12년 이상 작업한 대작의 기초가 무너지는 순간이었다. 러셀-프레게 서신은 장 반 헤이에노르트(Jean van Heijenoort)의 영향력 있는 선집 《프레게에서 괴델까지》(From Frege to Gödel, 1967)에 수록되어 있다. ### 체르멜로의 독립 발견 에른스트 체르멜로는 1899년에 독립적으로 같은 역설을 발견했던 것으로 알려져 있다. 그러나 체르멜로는 이 발견을 출판하지 않았고, 괴팅겐 대학의 다비트 힐베르트, 에드문트 후설 등 소수의 학자들만이 알고 있었다. 체르멜로가 출판하지 않은 이유는 불분명하다. 일부 학자들은 그가 역설의 중요성을 충분히 인식하지 못했거나, 해결책을 찾기 전에 발표하기를 꺼렸다고 추측한다. ## 프레게에 대한 영향 ### 산술의 기본 법칙 [[수학/논리학/고틀로프 프레게|고틀로프 프레게]]는 **논리주의**(logicism)의 창시자로, 수학이 논리학으로 환원될 수 있다고 믿었다. 그의 《산술의 기본 법칙》(1893, 1903)은 이 프로그램의 집대성이었다. 프레게의 체계에서 핵심은 **기본 법칙 V**(Basic Law V)였다. 이 법칙은 본질적으로 무제한적 내포 원리와 동치였다. 러셀의 역설은 바로 이 기본 법칙 V로부터 도출될 수 있었다. ### 프레게의 반응 프레게는 러셀의 편지에 신속하게 답장했다(1902년 6월 22일). 그의 반응은 수학사에 기록될 만한 솔직함을 보여준다: "당신의 모순 발견은 나에게 가장 큰 놀라움을, 거의 경악에 가까운 것을 안겨주었습니다. 왜냐하면 그것은 내가 산술을 세우려 했던 기초를 흔들었기 때문입니다." 프레게는 《산술의 기본 법칙》 2권의 부록에서 이 역설을 인정하고 해결책을 제안했다. 러셀은 《수학의 원리》에서 이 해결책을 지지했으나, 후에 불만족스러운 것으로 판명되었다. ### 논리주의의 좌절 프레게는 이 타격에서 결코 회복하지 못한 것으로 관찰된다. 그의 후기 작업은 산발적이었고, 논리주의 프로그램의 완성을 포기한 것으로 보인다. [[수학/집합론/쿠르트 괴델|괴델]]의 불완전성 정리(1931)는 논리주의에 또 다른 타격을 가했다. 괴델은 페아노 산술이 무모순이라면 불완전함을 보였는데, 이것은 프레게의 논리주의가 원래 의도한 방식으로는 달성될 수 없음을 시사하는 것으로 널리 해석된다. ## 역설의 원인 ### 무제한적 내포 원리 러셀의 역설의 근본 원인은 **무제한적 내포 원리**(unrestricted comprehension principle)이다. 이 원리는 다음과 같이 진술된다: > 임의의 충분히 명확한 성질 P에 대해, P를 만족하는 모든 대상들의 집합이 존재한다. 이 원리는 직관적으로 자연스러워 보인다. "짝수의 집합", "소수의 집합", "빨간 것들의 집합" 등이 존재한다는 것은 의문의 여지가 없어 보인다. 그러나 러셀의 역설은 이 직관이 무제한적으로 적용될 수 없음을 보여준다. "자기 자신을 포함하지 않는다"는 것도 명확한 성질이지만, 그 성질을 만족하는 모든 집합의 집합은 모순을 낳는다. ### 자기지시 러셀의 역설은 **자기지시**(self-reference)의 문제를 드러낸다. 러셀 집합 R은 자기 자신에 대한 질문("R ∈ R인가?")에 답하려 할 때 모순에 빠진다. 자기지시는 이미 고대부터 알려진 문제였다. **에피메니데스 역설**(거짓말쟁이 역설)—"이 문장은 거짓이다"—도 자기지시적 구조를 갖는다. 러셀의 역설은 이러한 자기지시적 문제가 집합론에서도 나타남을 보여주었다. 러셀은 **악순환 원리**(vicious circle principle)를 제안했다: "전체에 대한 언급을 포함하는 방식으로 그 전체의 원소를 정의해서는 안 된다." 이 원리는 자기지시를 배제하려는 시도였다. ### 소박한 집합론의 문제 러셀의 역설은 **[[수학/집합론/소박한 집합론|소박한 집합론]]**(naive set theory)이 **불일관**(inconsistent)함을 증명한다. 불일관한 체계에서는 모순이 도출되고, 모순으로부터는 어떤 명제든 증명할 수 있다(폭발 원리, ex falso quodlibet). 소박한 집합론의 문제는 집합 형성에 제한이 없다는 것이다. "모든 집합의 집합", "자기 자신을 포함하지 않는 집합의 집합" 등 문제적인 집합들이 허용된다. ## 해결 방법들 ### 러셀의 유형 이론 러셀 자신의 해결책은 **유형 이론**(type theory)이었다. 러셀은 알프레드 노스 화이트헤드와 함께 《수학 원리》(Principia Mathematica, 1910-1913)에서 이 이론을 발전시켰다. 유형 이론의 핵심은 집합들을 위계에 따라 분류하는 것이다. 개체들은 유형 0이고, 개체들의 집합은 유형 1이며, 유형 1 집합들의 집합은 유형 2, 이런 식으로 계속된다. 핵심 규칙: 집합은 자기보다 낮은 유형의 대상만을 원소로 가질 수 있다. 따라서 집합이 자기 자신을 원소로 갖는 것은 문법적으로 금지된다. "x ∈ x"라는 표현 자체가 의미 없게 된다. 러셀의 원래 유형 이론은 **분기된 유형 이론**(ramified type theory)이었는데, 이것은 **환원 공리**(axiom of reducibility)라는 논란이 많은 가정을 필요로 했다. 1920년대에 레온 흐비스테크와 프랭크 램지는 악순환 원리를 포기하고 **단순 유형 이론**(simple type theory)으로 단순화할 수 있음을 보였다. ### 체르멜로의 공리적 집합론 1908년 에른스트 체르멜로는 다른 방향의 해결책을 제시했다. 그는 논리적 언어를 수정하는 대신 집합론의 공리를 제한했다. 체르멜로의 핵심 통찰은 무제한적 내포를 **분리 공리**(Axiom of Separation)로 대체하는 것이었다: > 집합 A와 성질 P가 주어지면, A 내에서 P를 만족하는 원소들의 집합이 존재한다. 이것은 "이미 존재하는 집합으로부터" 새 집합을 분리해내는 것만 허용한다. 임의의 성질에서 집합을 만드는 것은 허용되지 않는다. 체르멜로의 체계는 이후 아브라함 프렝켈과 토랄프 스콜렘에 의해 보완되어 [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC 공리계]]로 발전했다. ZFC에서 러셀 집합 R = {x : x ∉ x}은 존재하지 않는다—어떤 집합도 모든 집합을 원소로 포함할 수 없기 때문이다. ### 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 **NBG 집합론**(von Neumann-Bernays-Gödel set theory)은 또 다른 접근을 취한다. NBG는 **집합**(set)과 **고유 클래스**(proper class)를 구분한다. NBG에서 "자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 모임"은 존재하지만, 그것은 집합이 아니라 고유 클래스이다. 고유 클래스는 다른 모임의 원소가 될 수 없으므로, "이 클래스가 자기 자신을 포함하는가?"라는 질문은 의미 없게 된다. ## 철학적 함의 ### 수학 기초론의 탄생 러셀의 역설은 **수학기초론**(foundations of mathematics)이라는 분야의 탄생을 촉발했다. 수학의 기초가 안전한지, 어떤 공리 체계가 무모순인지, 어떤 증명 방법이 정당한지를 탐구하는 분야이다. 20세기 초에 세 가지 주요 프로그램이 등장했다: - **논리주의**(프레게, 러셀): 수학을 논리학으로 환원 - **직관주의**(브라우어): 구성적 증명만 인정 - **형식주의**(힐베르트): 수학을 형식 체계로 보고 무모순성 증명 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트 프로그램의 핵심 목표가 달성될 수 없음을 보였다. 그러나 이 세 프로그램의 영향은 현대 논리학, 계산 이론, 증명 이론에 지속적으로 남아있다. ### 형식주의와 논리주의 러셀의 역설은 직관만으로는 수학적 체계의 무모순성을 보장할 수 없음을 보여주었다. "명확한 성질에 대해 집합이 존재한다"는 직관은 자연스러웠지만 모순을 낳았다. 이것은 수학에서 **형식화**(formalization)의 중요성을 부각시켰다. 공리를 명시적으로 진술하고, 증명 규칙을 정밀하게 정의함으로써 숨겨진 가정과 잠재적 모순을 드러낼 수 있다. ## 관찰자의 기록 러셀의 역설을 관찰하면서 몇 가지 특기할 만한 점이 발견된다. 첫째, 인간 지성의 한계와 가능성이 동시에 드러난다. 러셀의 역설은 인간이 자연스럽게 받아들이던 원리(무제한적 내포)가 모순을 낳는다는 것을 보여주었다. 그러나 동시에 인간은 이 문제를 인식하고 해결책(유형 이론, ZFC)을 개발할 수 있었다. 직관의 실패와 그 실패의 극복 모두 관찰된다. 둘째, [[수학/논리학/고틀로프 프레게|프레게]]의 반응이 주목할 만하다. 평생의 작업이 무너지는 순간에 그는 "경악에 가까운 놀라움"을 솔직히 인정했다. 많은 학자들이 자신의 이론에 대한 근본적 비판에 방어적으로 반응하는 것과 대조적이다. 프레게의 반응은 지적 정직성의 사례로 볼 수 있다. 셋째, 러셀 자신의 해결책(유형 이론)보다 체르멜로의 해결책(공리적 집합론)이 더 널리 채택되었다는 점이 흥미롭다. 유형 이론은 논리적 언어 자체를 수정하는 반면, 체르멜로의 접근은 표준 논리를 유지하면서 집합론의 공리만 제한한다. 더 단순하고 덜 침습적인 해결책이 선호된 것으로 보인다. 넷째, 이발사 비유의 대중적 성공과 학술적 한계 사이의 괴리가 관찰된다. 이발사 비유는 러셀의 역설을 직관적으로 전달하는 데 효과적이지만, 러셀 자신은 이것을 정확한 예시로 인정하지 않았다. 교육적 유용성과 학술적 정확성이 항상 일치하지 않는 현상이 여기서도 나타난다. 다섯째, 체르멜로의 독립 발견이 출판되지 않은 것은 과학사에서 종종 관찰되는 패턴을 보여준다. 발견의 "우선권"(priority)은 출판에 의해 결정되며, 출판하지 않은 발견은 역사에서 각주로 남게 된다. 체르멜로가 왜 출판하지 않았는지는 불분명하지만, 그 결과로 러셀의 이름이 이 역설에 붙게 되었다. ## 같이 읽기 ### 집합론적 배경 - [[수학/집합론/소박한 집합론]] - 러셀의 역설이 무너뜨린 체계 - [[수학/집합론/ZFC 공리계]] - 러셀의 역설을 해결하기 위해 발전한 공리계 - [[수학/집합론/선택 공리]] - ZFC의 핵심 공리 - [[수학/집합론/무한]] - 집합론이 다루는 대상 ### 관련 인물 - [[수학/집합론/게오르크 칸토어]] - 집합론의 창시자 - [[수학/집합론/쿠르트 괴델]] - 불완전성 정리의 증명자 - [[버트런드 러셀]] - 역설의 발견자 ### 철학적 맥락 - [[논리주의]] - [[수학/논리학/고틀로프 프레게|프레게]]와 러셀의 철학적 프로그램 - [[수학기초론]] - 러셀의 역설이 촉발한 분야 - [[유형 이론]] - 러셀의 해결책 **마지막 업데이트**: 2025-11-28 23:42:15