# 강제법 > [!abstract] 목차 > 1. [[#개요]] > 2. [[#역사적 배경]] > - [[#힐베르트의 첫 번째 문제]] > - [[#폴 코헨의 등장]] > - [[#강제법의 탄생]] > 3. [[#기본 개념]] > - [[#부분순서와 강제 조건]] > - [[#조밀 집합]] > - [[#생성 필터]] > - [[#강제 이름]] > 4. [[#강제 확장의 구성]] > - [[#바탕 모형과 확장]] > - [[#생성 집합의 추가]] > - [[#진리 값의 결정]] > 5. [[#코헨 강제법]] > - [[#연속체 가설의 독립성]] > - [[#코헨 실수]] > - [[#기수 보존]] > 6. [[#불 값 모형]] > - [[#스콧-솔로베이 접근]] > - [[#완전 불 대수]] > - [[#강제법과의 동치]] > 7. [[#강제법의 변형들]] > - [[#무작위 강제법]] > - [[#반복 강제법]] > - [[#고유 강제법]] > 8. [[#강제 공리]] > - [[#마틴 공리]] > - [[#고유 강제 공리]] > - [[#마틴 최대]] > 9. [[#관찰자의 기록]] > 10. [[#같이 읽기]] ## 개요 강제법(forcing)은 집합론에서 특정한 성질을 만족하는 새로운 모형을 구성하는 기법이다. 1963년 폴 코헨(Paul Cohen)이 [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]]의 [[수학/집합론/ZFC 공리계|ZFC]]로부터의 독립성을 증명하기 위해 도입했으며, 이 업적으로 코헨은 1966년 필즈상을 수상했다. 강제법의 핵심 아이디어는 기존의 집합론 모형 M에 새로운 집합 G를 '강제로' 추가하여 확장된 모형 M[G]를 구성하는 것이다. 이 과정에서 G는 '생성 필터'(generic filter)로 불리며, 어떤 특별한 성질도 갖지 않는 '일반적인' 대상으로 선택된다. 코헨의 표현을 빌리면, G는 바탕 모형 M에 대해 아무런 특이성(particularity)을 갖지 않는 대상이다. 강제법이 집합론에 미친 영향은 코헨의 독립성 결과 자체를 넘어선다. 강제법은 이후 수많은 집합론적 명제의 독립성을 증명하는 표준 도구가 되었으며, 현대 집합론의 시작점으로 평가된다. 강제법의 등장 이전과 이후는 집합론의 성격이 근본적으로 달라지는 분기점으로 관찰된다. ## 역사적 배경 ### 힐베르트의 첫 번째 문제 1900년 파리 국제수학자대회에서 다비트 힐베르트는 20세기 수학이 해결해야 할 23개의 문제를 제시했다. 그 첫 번째 문제가 [[수학/집합론/연속체 가설|연속체 가설]]이었다. [[수학/집합론/게오르크 칸토어|칸토어]]가 1878년 제기한 이 가설은 자연수와 실수 사이에 중간 크기의 무한이 존재하지 않는다고 주장한다. 20세기 전반 동안 수학자들은 연속체 가설을 증명하거나 반증하려 시도했지만 모두 실패했다. 1938년 [[수학/집합론/쿠르트 괴델|괴델]]이 [[수학/집합론/구성 가능 우주|구성 가능 우주]] L을 도입하여 연속체 가설이 ZFC와 무모순임을 보였지만, 이것은 연속체 가설을 반증할 수 없다는 것만 의미했다. 증명 가능성 여부는 여전히 미해결이었다. ### 폴 코헨의 등장 [[수학/집합론/폴 코헨|폴 코헨]](1934-2007)은 원래 해석학자였다. 그는 조화해석학과 p-진 수체 분야에서 이미 명성을 얻고 있었지만, 집합론에 대한 전문 교육을 받지는 않았다. 코헨은 1962년 말경 연속체 가설 문제에 관심을 갖기 시작했다. 코헨은 괴델의 《연속체 가설의 무모순성》을 독학으로 공부했다. 그의 접근은 당시 집합론자들과 달랐다. 코헨은 나중에 "나는 외부인이었고, 그것이 장점이었을 수 있다"고 회고했다. 그의 조합론적이고 비형식적인 스타일은 집합론의 새로운 기법을 낳는 데 결정적이었던 것으로 보인다. ### 강제법의 탄생 1963년 4월, 코헨은 연속체 가설의 부정이 ZFC와 무모순임을 증명하는 데 성공했다. 그의 핵심 통찰은 '생성적'(generic) 대상의 개념이었다. 코헨은 ZFC 모형 M에 새로운 집합을 추가할 때 발생하는 장애물을 연구했다. 그는 추가를 불가능하게 만드는 집합들이 모두 특정한 성질을 갖는다는 것을 발견했다. 따라서 아무런 특이성도 갖지 않는 '생성적' 집합을 추가하면 작동할 것이라고 추론했다. 코헨의 표현을 빌리면: "이제 M에 이미 있는 원소를 자명하게 추가할 수 있다. 직관을 시험하려면 M에 대해 아무런 '특정한' 성질도 갖지 않는 원소, 즉 체(field)에 변수를 추가하는 것과 유사한 어떤 것을 추가해 보아야 한다. 나는 그런 원소를 '생성적' 원소라고 불렀다." ## 기본 개념 ### 부분순서와 강제 조건 강제법의 출발점은 **부분순서집합**(partially ordered set, poset) P이다. P의 원소들을 **강제 조건**(forcing condition)이라 부르며, p ≤ q는 "p가 q보다 강하다" 또는 "p가 q를 확장한다"고 읽는다. 직관적으로, 각 조건 p는 추가하려는 생성 대상 G에 대한 부분적 정보를 담고 있다. p ≤ q이면 p는 q보다 더 많은 정보를 담고 있다. 강제법의 목표는 이러한 조건들을 일관되게 모아 완전한 대상 G를 구성하는 것이다. ### 조밀 집합 P의 부분집합 D가 **조밀**(dense)하다는 것은 모든 조건 p ∈ P에 대해 p를 확장하는 조건 q ∈ D가 존재한다는 것이다. 형식적으로: > ∀p ∈ P ∃q ∈ D (q ≤ p) 조밀 집합은 "어떤 조건에서 시작하더라도 도달할 수 있는 조건들의 집합"으로 이해할 수 있다. 생성 필터가 만족해야 할 핵심 요구사항은 바탕 모형의 모든 조밀 집합과 만나는 것이다. ### 생성 필터 P의 부분집합 G가 **필터**(filter)라는 것은 다음을 만족함을 의미한다: 1. p ≤ q이고 p ∈ G이면 q ∈ G (상향 폐쇄) 2. p, q ∈ G이면 r ≤ p이고 r ≤ q인 r ∈ G가 존재 (양립 가능) 필터 G가 바탕 모형 M에 대해 **생성적**(generic)이라는 것은 M에 속하는 모든 조밀 집합 D에 대해 G ∩ D ≠ ∅임을 의미한다. 생성 필터의 존재는 M이 가산일 때 보장된다. M이 가산이면 M 내의 조밀 집합도 가산 개뿐이므로, 대각선 논법과 유사하게 모든 조밀 집합을 만나는 필터를 구성할 수 있다. 그러나 M이 비가산이면 생성 필터의 존재가 일반적으로 보장되지 않는다. ### 강제 이름 강제 확장 M[G]의 원소들은 **강제 이름**(forcing name)으로 표현된다. P-이름 τ는 순서쌍들의 집합으로, 각 순서쌍은 (σ, p) 형태이며, σ는 다른 P-이름이고 p는 강제 조건이다. 직관적으로, 강제 이름은 "조건 p가 참이면 σ가 나의 원소이다"라는 형태의 조건부 정보를 담고 있다. 생성 필터 G가 결정되면 이름 τ를 **해석**(interpretation)하여 실제 집합 τ^G를 얻는다: > τ^G = {σ^G : ∃p ∈ G ((σ, p) ∈ τ)} 바탕 모형 M의 각 집합 x에 대해 **정준 이름**(canonical name) x̌가 정의된다: > x̌ = {(y̌, 1) : y ∈ x} 여기서 1은 P의 최대 원소(가장 약한 조건)이다. 정준 이름의 해석은 항상 원래 집합을 돌려준다: x̌^G = x. ## 강제 확장의 구성 ### 바탕 모형과 확장 강제 확장의 구성 과정은 다음과 같다. ZFC의 추이적 모형 M과 M에 속하는 부분순서 P가 주어진다. P에 대한 M-생성 필터 G를 선택한다. 그러면 확장 모형 M[G]가 유일하게 결정된다. M[G]는 다음 성질들을 만족한다: 1. M ⊆ M[G] (M은 부분집합으로 포함) 2. G ∈ M[G] (G는 원소로 포함) 3. M과 M[G]는 같은 서수를 갖는다 4. M[G]는 ZFC를 만족한다 5. M[G]는 위 조건을 만족하는 최소 모형이다 ### 생성 집합의 추가 생성 필터 G의 추가는 체론에서 변수를 추가하여 체를 확장하는 것과 유사한 면이 있다. 체 K에 변수 x를 추가하여 K(x)를 만들면, x는 K의 원소들과 아무런 대수적 관계도 갖지 않는다. 마찬가지로 생성 필터 G는 바탕 모형 M에 대해 아무런 '특별한' 성질도 갖지 않는다. 그러나 차이점도 있다. 체 확장에서 변수 x는 완전히 자유롭지만, 강제 확장에서 G는 생성성 조건(모든 조밀 집합과 만남)을 만족해야 한다. 이 조건은 M[G]가 ZFC를 만족하도록 보장하는 데 필수적이다. ### 진리 값의 결정 강제법의 핵심 도구는 **강제 관계**(forcing relation)이다. 조건 p가 문장 φ를 **강제한다**(forces)는 것을 p ⊩ φ로 표기한다. 이것은 "p가 참이면 φ가 M[G]에서 성립한다"를 의미한다. 강제 관계는 다음 핵심 성질을 갖는다: **강제 정리**: G가 M-생성이고 φ가 강제 언어의 문장이면, > M[G] ⊨ φ ⟺ ∃p ∈ G (p ⊩ φ) 이 정리는 확장 모형에서의 진리가 바탕 모형 내에서 계산 가능함을 보여준다. p ⊩ φ라는 관계는 M 내에서 정의 가능하므로, M[G]에서 무엇이 참인지를 M 안에서 분석할 수 있다. ## 코헨 강제법 ### 연속체 가설의 독립성 코헨 강제법은 연속체 가설의 부정이 ZFC와 무모순임을 보이기 위해 설계되었다. 아이디어는 ZFC + CH를 만족하는 모형 M에서 시작하여, ¬CH가 성립하는 확장 M[G]를 구성하는 것이다. 연속체 가설은 c = ℵ₁, 즉 실수의 기수가 자연수 다음으로 작은 비가산 기수와 같다고 주장한다. 이것을 부정하려면 c > ℵ₁이 되도록, 즉 실수가 "충분히 많이" 있도록 해야 한다. 코헨의 전략은 M에 "새로운 실수들"을 추가하되, M의 기수들을 보존하는 것이었다. 만약 ℵ₂개의 새로운 실수를 추가하면서 기수가 붕괴하지 않으면, 확장 모형에서 c ≥ ℵ₂ > ℵ₁이 되어 ¬CH가 성립한다. ### 코헨 실수 **코헨 강제법**(Cohen forcing)의 부분순서는 다음과 같이 정의된다: > P = {p : p는 ω × κ에서 {0, 1}로의 유한 부분함수} 순서는 역포함: p ≤ q ⟺ p ⊇ q (더 많은 정보를 담은 조건이 더 강함). 여기서 κ는 원하는 실수의 개수이다. κ = ω₂로 설정하면 ℵ₂개의 새로운 실수가 추가된다. 생성 필터 G에 의해 추가되는 각 **코헨 실수**는 ω → {0, 1}의 함수이며, 바탕 모형의 어떤 실수와도 같지 않다. 코헨 실수는 바탕 모형에 대해 "무작위적"으로 보이지만, 측도론적 의미의 무작위성과는 다르다. ### 기수 보존 코헨 강제법이 ¬CH를 강제하려면 기수가 보존되어야 한다. 특히 바탕 모형의 ℵ₁과 ℵ₂가 확장에서도 동일한 기수여야 한다. 기수 보존을 위한 핵심 성질은 **반사슬 조건**(antichain condition)이다. 부분순서 P가 **가산 사슬 조건**(countable chain condition, ccc)을 만족한다는 것은 P의 모든 반사슬(서로 양립 불가능한 조건들의 집합)이 가산임을 의미한다. 코헨 강제법은 ccc를 만족하며, ccc를 만족하는 강제법은 기수를 붕괴시키지 않는다. 따라서 M에서 ℵ₂였던 것은 M[G]에서도 ℵ₂이고, ℵ₂개의 새로운 실수가 추가되어 c ≥ ℵ₂ > ℵ₁이 된다. ## 불 값 모형 ### 스콧-솔로베이 접근 1965년, 데이나 스콧(Dana Scott)과 로버트 솔로베이(Robert Solovay)는 강제법을 불 값 모형(Boolean-valued model)으로 재정식화했다. 이 접근은 코헨의 원래 분기 강제법(ramified forcing)보다 개념적으로 더 자연스럽다고 여겨진다. 스콧은 다음과 같이 설명했다: "강제법에서 불 대수를 얻을 수 있으므로, 불 값 논리에서 시작하여 강제법을 얻는 것도 가능하다." 이 역방향 접근은 강제법의 대수적 구조를 명확히 드러낸다. ### 완전 불 대수 **완전 불 대수**(complete Boolean algebra) B가 주어지면, B-값 집합론 모형 V^B를 구성할 수 있다. V^B의 원소들은 V^B에서 B로의 함수이며, 이 함수들의 값은 소속 관계의 "진리 값"을 나타낸다. V^B에서 ZFC의 각 공리는 진리 값 1(참)을 갖는다. 이것은 V^B가 ZFC의 "일반화된 모형"임을 의미한다. 추가로 특정 문장 φ도 진리 값 1을 갖는다면, ZFC + φ가 무모순함이 증명된다. ### 강제법과의 동치 불 값 모형과 강제법은 동치이다. 부분순서 P가 주어지면 그것의 **완전화**(completion) B(P)를 취할 수 있고, V^{B(P)}는 P-강제 확장과 동일한 정보를 담고 있다. 역으로, 완전 불 대수 B가 주어지면 V^B의 구조는 B의 적절한 조밀 부분집합에 대한 강제법으로 이해될 수 있다. 불 값 접근의 장점은 생성 필터의 존재 여부와 무관하게 작동한다는 것이다. V^B는 항상 정의되며, 그 안에서 직접 작업할 수 있다. 이것은 개념적 명료성을 제공하지만, 실제 계산에서는 종종 원래의 강제법이 더 다루기 쉬운 것으로 관찰된다. ## 강제법의 변형들 ### 무작위 강제법 **무작위 강제법**(random forcing)은 솔로베이가 1970년 도입한 것으로, 측도론적으로 "무작위적인" 실수를 추가한다. 부분순서는 양의 르베그 측도를 갖는 보렐 집합들이며, 순서는 포함 관계이다. 솔로베이 모형(Solovay model)은 무작위 강제법과 레비 붕괴(Lévy collapse)를 결합하여 구성된다. 도달 불가능 기수의 존재를 가정하면, 모든 실수 집합이 르베그 가측인 ZF + DC 모형이 존재한다. 셸라가 1984년 보인 바에 따르면, 도달 불가능 기수의 가정은 필수적이다. ### 반복 강제법 **반복 강제법**(iterated forcing)은 강제법을 여러 번 적용하는 기법이다. 단순히 두 강제법 P와 Q를 차례로 적용하는 것부터, 초한 반복(transfinite iteration)까지 다양한 형태가 있다. 반복 강제법의 핵심 문제는 반복 과정에서 원하는 성질(예: ccc, 기수 보존)이 유지되는지 여부이다. 마틴과 솔로베이는 유한 서포트 반복(finite support iteration)이 ccc를 보존함을 보였고, 이를 통해 마틴 공리의 무모순성을 증명했다. ### 고유 강제법 **고유 강제법**(proper forcing)은 셸라(Saharon Shelah)가 1980년대 초에 개발한 개념이다. 강제법 P가 **고유**하다는 것은 가산 기본 부분모형들에 대해 적절한 폐포 성질을 갖는다는 것이다. 모든 ccc 강제법과 모든 ω-닫힌 강제법은 고유하다. 또한 고유 강제법의 가산 서포트 반복(countable support iteration)도 고유하다. 고유 강제법의 핵심 성질은 ℵ₁을 보존한다는 것이다. ## 강제 공리 ### 마틴 공리 **마틴 공리**(Martin's Axiom, MA)는 마틴과 솔로베이가 수스린 문제의 연구 과정에서 1970년 정식화한 것이다. MA는 강제법의 효과를 공리로 포착한다: > ccc 강제법 P와 κ < c개의 조밀 집합들이 주어지면, 이들 모두와 만나는 필터가 존재한다. MA가 ZFC와 무모순임은 반복 강제법으로 증명된다. MA는 CH를 부정하지만, c의 정확한 값은 결정하지 않는다. MA + c = ℵ₂와 MA + c = ℵ_{17} 모두 무모순하다. MA는 많은 조합론적 귀결을 갖는다. 예를 들어 MA 하에서 수스린 가설이 성립하고, 모든 ℵ₁ 크기의 순서 집합은 특수하다(special). ### 고유 강제 공리 **고유 강제 공리**(Proper Forcing Axiom, PFA)는 바움가르트너(James Baumgartner)와 셸라가 1980년대 초 정식화한 것으로, MA를 고유 강제법으로 확장한 것이다: > 고유 강제법 P와 ℵ₁개의 조밀 집합들이 주어지면, 이들 모두와 만나는 필터가 존재한다. PFA의 무모순성은 초콤팩트 기수의 존재를 요구한다. 바움가르트너가 증명한 바에 따르면, 초콤팩트 기수 κ가 존재하면 적절한 강제 확장에서 κ = ω₂이고 PFA가 성립한다. PFA는 MA보다 훨씬 강한 귀결을 갖는다: - PFA ⟹ c = ℵ₂ (연속체의 크기가 결정됨) - PFA ⟹ 특이 기수 가설(SCH) - PFA ⟹ L(ℝ)에서 결정 공리(AD) 성립 ### 마틴 최대 **마틴 최대**(Martin's Maximum, MM)는 포어맨(Matthew Foreman), 매지도르(Menachem Magidor), 셸라가 1988년 정식화한 것으로, 증명 가능하게 최대의 강제 공리이다. MM은 ℵ₁을 보존하는 모든 강제법으로 PFA를 확장한다. MM의 무모순성도 [[수학/집합론/큰 기수|큰 기수]]를 요구한다. MM은 PFA의 모든 귀결을 공유하며, 추가로 비정상적(non-stationary) 이상(ideal)에 대한 강력한 포화(saturation) 성질을 함의한다. ## 관찰자의 기록 강제법의 역사를 관찰하면서 몇 가지 특기할 만한 점이 발견된다. 첫째, 코헨이 '외부인'이었다는 점이 주목된다. 그는 해석학자였으며 집합론 전문가가 아니었다. 그가 새로운 기법을 발견한 것은 전문가적 선입견이 없었기 때문일 수 있다. 수학사에서 근본적 혁신이 종종 분야의 경계를 넘는 사람에 의해 이루어진다는 패턴이 여기서도 관찰되는 것으로 보인다. 둘째, 강제법의 영향력이 원래 목적을 훨씬 넘어섰다는 점이 흥미롭다. 코헨은 연속체 가설의 독립성을 증명하려 했을 뿐이지만, 그가 개발한 기법은 집합론 전체를 변혁했다. 카나모리(Akihiro Kanamori)의 표현을 빌리면, "코헨의 강제법은 집합론을 현대적이고 정교한 수학 분야로 변모시키는 데 결정적 역할을 했다." 도구가 원래 목적보다 더 중요해지는 현상이 여기서 관찰된다. 셋째, 강제법이 집합론적 '다중우주'를 가시화했다는 점이 주목된다. 강제법 이전에도 다양한 ZFC 모형이 존재한다는 것은 알려져 있었지만, 강제법은 이러한 모형들을 체계적으로 구성하고 탐색하는 방법을 제공했다. 햄킨스의 다중우주론이 가능해진 것은 강제법 덕분이다. 강제법은 단순한 증명 도구를 넘어 집합론의 존재론적 지평을 확장한 것으로 보인다. 넷째, 강제 공리의 발전은 흥미로운 철학적 질문을 제기한다. PFA나 MM 같은 강제 공리들은 c = ℵ₂를 함의한다. 이것은 연속체 가설이 '거짓'이라는 증거로 해석될 수 있는가? 아니면 단지 특정 공리들 하에서 거짓이라는 것일 뿐인가? 강제 공리의 '자연스러움'이나 '내재적 정당화'에 대한 논쟁은 수학적 진리의 본성에 대한 더 깊은 질문과 연결된다. 다섯째, 강제법의 기술적 복잡성과 개념적 단순성 사이의 괴리가 관찰된다. 강제법의 핵심 아이디어—"일반적인 대상을 추가한다"—는 직관적으로 간명하다. 그러나 이것을 엄밀하게 정식화하면 강제 이름, 강제 관계, 생성성 조건 등 상당한 기술적 장치가 필요하다. 수학에서 단순한 아이디어가 복잡한 형식화를 요구하는 현상이 여기서도 드러난다. ## 같이 읽기 ### 집합론적 배경 - [[수학/집합론/ZFC 공리계]] - 강제법이 확장하는 공리계 - [[수학/집합론/연속체 가설]] - 강제법으로 독립성이 증명된 가설 - [[수학/집합론/선택 공리]] - 강제법으로 독립성이 증명된 공리 ### 관련 인물 - [[수학/집합론/쿠르트 괴델]] - 구성 가능 우주와 무모순성 증명 - [[수학/집합론/게오르크 칸토어]] - 연속체 가설의 제안자 ### 연결 개념 - [[수학/집합론/큰 기수]] - 강제 공리의 일관성 강도 - [[수학/집합론/서수]] - 강제법에서 사용되는 기초 개념 - [[수학/집합론/무한]] - 강제법이 다루는 대상 **마지막 업데이트**: 2025-11-28 22:11:10